3x^2-15x+16=0 Denklemini Çözme

$$3 { x }^{ 2 } -15x+16=0$$

x için çözün

$$x=\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2}\approx 3,457427108$$

$$x=-\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2}\approx 1,542572892$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$3x^{2}-15x+16=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 3, b yerine -15 ve c yerine 16 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

-15 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

-4 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-12\times 16}}{2\times 3}$$

-12 ile 16 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-192}}{2\times 3}$$

-192 ile 225 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{33}}{2\times 3}$$

-15 sayısının tersi: 15.

$$x=\frac{15±\sqrt{33}}{2\times 3}$$

2 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{15±\sqrt{33}}{6}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{15±\sqrt{33}}{6} denklemini çözün. \sqrt{33} ile 15 sayısını toplayın.

$$x=\frac{\sqrt{33}+15}{6}$$

15+\sqrt{33} sayısını 6 ile bölün.

$$x=\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{15±\sqrt{33}}{6} denklemini çözün. \sqrt{33} sayısını 15 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{15-\sqrt{33}}{6}$$

15-\sqrt{33} sayısını 6 ile bölün.

$$x=-\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2} x=-\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$3x^{2}-15x+16=0$$

Denklemin her iki tarafından 16 çıkarın.

$$3x^{2}-15x+16-16=-16$$

16 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$3x^{2}-15x=-16$$

Her iki tarafı 3 ile bölün.

$$\frac{3x^{2}-15x}{3}=-\frac{16}{3}$$

3 ile bölme, 3 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{3}\right)x=-\frac{16}{3}$$

-15 sayısını 3 ile bölün.

$$x^{2}-5x=-\frac{16}{3}$$

x teriminin katsayısı olan -5 sayısını 2 değerine bölerek -\frac{5}{2} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{5}{2} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{16}{3}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

-\frac{5}{2} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-\frac{16}{3}+\frac{25}{4}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{16}{3} ile \frac{25}{4} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{11}{12}$$

Faktör x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{11}{12}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11}{12}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{33}}{6} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{33}}{6}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{5}{2} ekleyin.

$$x=\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2} x=-\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2}$$