3x^2-14x+10=0 Denklemini Çözme

$$3 { x }^{ 2 } -14x+10=0$$

x için çözün

$$x = \frac{\sqrt{19} + 7}{3} \approx 3,786299648$$

$$x=\frac{7-\sqrt{19}}{3}\approx 0,880367019$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$3x^{2}-14x+10=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 3, b yerine -14 ve c yerine 10 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

-14 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

-4 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-12\times 10}}{2\times 3}$$

-12 ile 10 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-120}}{2\times 3}$$

-120 ile 196 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{76}}{2\times 3}$$

76 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{19}}{2\times 3}$$

-14 sayısının tersi: 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{19}}{2\times 3}$$

2 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{14±2\sqrt{19}}{6}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{14±2\sqrt{19}}{6} denklemini çözün. 2\sqrt{19} ile 14 sayısını toplayın.

$$x=\frac{2\sqrt{19}+14}{6}$$

14+2\sqrt{19} sayısını 6 ile bölün.

$$x=\frac{\sqrt{19}+7}{3}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{14±2\sqrt{19}}{6} denklemini çözün. 2\sqrt{19} sayısını 14 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{14-2\sqrt{19}}{6}$$

14-2\sqrt{19} sayısını 6 ile bölün.

$$x=\frac{7-\sqrt{19}}{3}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{\sqrt{19}+7}{3} x=\frac{7-\sqrt{19}}{3}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$3x^{2}-14x+10=0$$

Denklemin her iki tarafından 10 çıkarın.

$$3x^{2}-14x+10-10=-10$$

10 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$3x^{2}-14x=-10$$

Her iki tarafı 3 ile bölün.

$$\frac{3x^{2}-14x}{3}=-\frac{10}{3}$$

3 ile bölme, 3 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}-\frac{14}{3}x=-\frac{10}{3}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{14}{3} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{7}{3} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{7}{3} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{14}{3}x+\left(-\frac{7}{3}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{7}{3}\right)^{2}$$

-\frac{7}{3} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=-\frac{10}{3}+\frac{49}{9}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{10}{3} ile \frac{49}{9} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=\frac{19}{9}$$

Faktör x^{2}-\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{3}\right)^{2}=\frac{19}{9}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{19}{9}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{7}{3}=\frac{\sqrt{19}}{3} x-\frac{7}{3}=-\frac{\sqrt{19}}{3}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{7}{3} ekleyin.

$$x=\frac{\sqrt{19}+7}{3} x=\frac{7-\sqrt{19}}{3}$$