3x^2+5x=138 Denklemini Çözme

$$3 { x }^{ 2 } +5x=138$$

x için çözün

$$x = -\frac{23}{3} = -7\frac{2}{3} \approx -7,666666667$$

$$x=6$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki taraftan 138 sayısını çıkarın.

$$3x^{2}+5x-138=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 3x^{2}+ax+bx-138 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=5 ab=3\left(-138\right)=-414$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -414 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,414 -2,207 -3,138 -6,69 -9,46 -18,23$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+414=413 -2+207=205 -3+138=135 -6+69=63 -9+46=37 -18+23=5$$

Çözüm, 5 toplamını veren çifttir.

$$a=-18 b=23$$

3x^{2}+5x-138 ifadesini \left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 23 3x çarpanlarına ayırın.

$$3x\left(x-6\right)+23\left(x-6\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-6 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-6\right)\left(3x+23\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-6=0 ve 3x+23=0 çözün.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$3x^{2}+5x=138$$

Denklemin her iki tarafından 138 çıkarın.

$$3x^{2}+5x-138=138-138$$

138 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$3x^{2}+5x-138=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 3, b yerine 5 ve c yerine -138 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

5 sayısının karesi.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

-4 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

-12 ile -138 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+1656}}{2\times 3}$$

1656 ile 25 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

1681 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-5±41}{2\times 3}$$

2 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-5±41}{6}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-5±41}{6} denklemini çözün. 41 ile -5 sayısını toplayın.

$$x=\frac{36}{6}$$

36 sayısını 6 ile bölün.

$$x=6$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-5±41}{6} denklemini çözün. 41 sayısını -5 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{46}{6}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-46}{6} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{23}{3}$$

Denklem çözüldü.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$3x^{2}+5x=138$$

Her iki tarafı 3 ile bölün.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=\frac{138}{3}$$

3 ile bölme, 3 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=\frac{138}{3}$$

138 sayısını 3 ile bölün.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=46$$

x teriminin katsayısı olan \frac{5}{3} sayısını 2 değerine bölerek \frac{5}{6} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{5}{6} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=46+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

\frac{5}{6} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=46+\frac{25}{36}$$

\frac{25}{36} ile 46 sayısını toplayın.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1681}{36}$$

Faktör x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{41}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{41}{6}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{5}{6} çıkarın.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$