3x^2+5x+9=0 Denklemini Çözme

$$3 { x }^{ 2 } +5x+9=0$$

x için çözün (complex solution)

$$x=\frac{-5+\sqrt{83}i}{6}\approx -0.833333333+1.518405597i$$

$$x=\frac{-\sqrt{83}i-5}{6}\approx -0.833333333-1.518405597i$$

Karesel Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, karesel formül kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Karesel formül, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$3x^{2}+5x+9=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden formülünde a yerine 3, b yerine 5 ve c yerine 9 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

5 sayısının karesi.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

-4 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\times 9}}{2\times 3}$$

-12 ile 9 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-108}}{2\times 3}$$

-108 ile 25 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-83}}{2\times 3}$$

-83 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-5±\sqrt{83}i}{2\times 3}$$

2 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-5±\sqrt{83}i}{6}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-5±\sqrt{83}i}{6} denklemini çözün. i\sqrt{83} ile -5 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-5+\sqrt{83}i}{6}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-5±\sqrt{83}i}{6} denklemini çözün. i\sqrt{83} sayısını -5 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{-\sqrt{83}i-5}{6}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{-5+\sqrt{83}i}{6} x=\frac{-\sqrt{83}i-5}{6}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$3x^{2}+5x+9=0$$

Denklemin her iki tarafından 9 çıkarın.

$$3x^{2}+5x+9-9=-9$$

9 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$3x^{2}+5x=-9$$

Her iki tarafı 3 ile bölün.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=-\frac{9}{3}$$

3 ile bölme, 3 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=-\frac{9}{3}$$

-9 sayısını 3 ile bölün.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=-3$$

x teriminin katsayısı olan \frac{5}{3} sayısını 2 değerine bölerek \frac{5}{6} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{5}{6} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=-3+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

\frac{5}{6} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-3+\frac{25}{36}$$

\frac{25}{36} ile -3 sayısını toplayın.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{83}{36}$$

x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36} ifadesini çarpanlarına ayırın. Genellikle x^{2}+bx+c tam kare olduğunda her zaman \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} şeklinde çarpanlara ayrılabilir.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{83}{36}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{83}{36}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{83}i}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{83}i}{6}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{5}{6} çıkarın.

$$x=\frac{-5+\sqrt{83}i}{6} x=\frac{-\sqrt{83}i-5}{6}$$