3x^2+4x+7=0 Denklemini Çözme

$$3 { x }^{ 2 } +4x+7=0$$

x için çözün (complex solution)

$$x=\frac{-2+\sqrt{17}i}{3}\approx -0,666666667+1,374368542i$$

$$x=\frac{-\sqrt{17}i-2}{3}\approx -0,666666667-1,374368542i$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$3x^{2}+4x+7=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 3, b yerine 4 ve c yerine 7 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

4 sayısının karesi.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

-4 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12\times 7}}{2\times 3}$$

-12 ile 7 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-84}}{2\times 3}$$

-84 ile 16 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-68}}{2\times 3}$$

-68 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{17}i}{2\times 3}$$

2 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{17}i}{6}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-4±2\sqrt{17}i}{6} denklemini çözün. 2i\sqrt{17} ile -4 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-4+2\sqrt{17}i}{6}$$

-4+2i\sqrt{17} sayısını 6 ile bölün.

$$x=\frac{-2+\sqrt{17}i}{3}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-4±2\sqrt{17}i}{6} denklemini çözün. 2i\sqrt{17} sayısını -4 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{-2\sqrt{17}i-4}{6}$$

-4-2i\sqrt{17} sayısını 6 ile bölün.

$$x=\frac{-\sqrt{17}i-2}{3}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{-2+\sqrt{17}i}{3} x=\frac{-\sqrt{17}i-2}{3}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$3x^{2}+4x+7=0$$

Denklemin her iki tarafından 7 çıkarın.

$$3x^{2}+4x+7-7=-7$$

7 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$3x^{2}+4x=-7$$

Her iki tarafı 3 ile bölün.

$$\frac{3x^{2}+4x}{3}=-\frac{7}{3}$$

3 ile bölme, 3 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=-\frac{7}{3}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{4}{3} sayısını 2 değerine bölerek \frac{2}{3} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{2}{3} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

\frac{2}{3} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{7}{3}+\frac{4}{9}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{7}{3} ile \frac{4}{9} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{17}{9}$$

Faktör x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{17}{9}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{17}{9}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{17}i}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{17}i}{3}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{2}{3} çıkarın.

$$x=\frac{-2+\sqrt{17}i}{3} x=\frac{-\sqrt{17}i-2}{3}$$