3x^2+17x+10=0 Denklemini Çözme

$$3 { x }^{ 2 } +17x+10=0$$

x için çözün

$$x=-5$$

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 3x^{2}+ax+bx+10 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=17 ab=3\times 10=30$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b pozitif olduğundan a ve b her ikisi de pozitif. Çarpımı 30 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Çözüm, 17 toplamını veren çifttir.

$$a=2 b=15$$

3x^{2}+17x+10 ifadesini \left(3x^{2}+2x\right)+\left(15x+10\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(3x^{2}+2x\right)+\left(15x+10\right)$$

İlk grubu x, ikinci grubu 5 ortak çarpan parantezine alın.

$$x\left(3x+2\right)+5\left(3x+2\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 3x+2 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(3x+2\right)\left(x+5\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 3x+2=0 ve x+5=0 çözün.

$$x=-\frac{2}{3} x=-5$$

Karesel Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, karesel formül kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Karesel formül, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$3x^{2}+17x+10=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden formülünde a yerine 3, b yerine 17 ve c yerine 10 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

17 sayısının karesi.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

-4 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-12\times 10}}{2\times 3}$$

-12 ile 10 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-120}}{2\times 3}$$

-120 ile 289 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-17±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

169 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-17±13}{2\times 3}$$

2 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-17±13}{6}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-17±13}{6} denklemini çözün. 13 ile -17 sayısını toplayın.

$$x=-\frac{4}{6}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-4}{6} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-17±13}{6} denklemini çözün. 13 sayısını -17 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{30}{6}$$

-30 sayısını 6 ile bölün.

$$x=-5$$

Denklem çözüldü.

$$x=-\frac{2}{3} x=-5$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$3x^{2}+17x+10=0$$

Denklemin her iki tarafından 10 çıkarın.

$$3x^{2}+17x+10-10=-10$$

10 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$3x^{2}+17x=-10$$

Her iki tarafı 3 ile bölün.

$$\frac{3x^{2}+17x}{3}=-\frac{10}{3}$$

3 ile bölme, 3 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x=-\frac{10}{3}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{17}{3} sayısını 2 değerine bölerek \frac{17}{6} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{17}{6} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x+\left(\frac{17}{6}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(\frac{17}{6}\right)^{2}$$

\frac{17}{6} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x+\frac{289}{36}=-\frac{10}{3}+\frac{289}{36}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{10}{3} ile \frac{289}{36} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x+\frac{289}{36}=\frac{169}{36}$$

x^{2}+\frac{17}{3}x+\frac{289}{36} ifadesini çarpanlarına ayırın. Genellikle x^{2}+bx+c tam kare olduğunda her zaman \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} şeklinde çarpanlara ayrılabilir.

$$\left(x+\frac{17}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{17}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{17}{6}=\frac{13}{6} x+\frac{17}{6}=-\frac{13}{6}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{17}{6} çıkarın.

$$x=-\frac{2}{3} x=-5$$