28k^2+k-2=0 Denklemini Çözme

$$28 k ^ { 2 } + k - 2 = 0$$

k için çözün

$$k=\frac{1}{4}=0,25$$

$$k=-\frac{2}{7}\approx -0,285714286$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 28k^{2}+ak+bk-2 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=1 ab=28\left(-2\right)=-56$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -56 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,56 -2,28 -4,14 -7,8$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+56=55 -2+28=26 -4+14=10 -7+8=1$$

Çözüm, 1 toplamını veren çifttir.

$$a=-7 b=8$$

28k^{2}+k-2 ifadesini \left(28k^{2}-7k\right)+\left(8k-2\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(28k^{2}-7k\right)+\left(8k-2\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 2 7k çarpanlarına ayırın.

$$7k\left(4k-1\right)+2\left(4k-1\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 4k-1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(4k-1\right)\left(7k+2\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 4k-1=0 ve 7k+2=0 çözün.

$$k=\frac{1}{4} k=-\frac{2}{7}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$28k^{2}+k-2=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 28, b yerine 1 ve c yerine -2 değerini koyarak çözün.

$$k=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 28\left(-2\right)}}{2\times 28}$$

1 sayısının karesi.

$$k=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 28\left(-2\right)}}{2\times 28}$$

-4 ile 28 sayısını çarpın.

$$k=\frac{-1±\sqrt{1-112\left(-2\right)}}{2\times 28}$$

-112 ile -2 sayısını çarpın.

$$k=\frac{-1±\sqrt{1+224}}{2\times 28}$$

224 ile 1 sayısını toplayın.

$$k=\frac{-1±\sqrt{225}}{2\times 28}$$

225 sayısının karekökünü alın.

$$k=\frac{-1±15}{2\times 28}$$

2 ile 28 sayısını çarpın.

$$k=\frac{-1±15}{56}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak k=\frac{-1±15}{56} denklemini çözün. 15 ile -1 sayısını toplayın.

$$k=\frac{14}{56}$$

14 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{14}{56} kesrini sadeleştirin.

$$k=\frac{1}{4}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak k=\frac{-1±15}{56} denklemini çözün. 15 sayısını -1 sayısından çıkarın.

$$k=-\frac{16}{56}$$

8 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-16}{56} kesrini sadeleştirin.

$$k=-\frac{2}{7}$$

Denklem çözüldü.

$$k=\frac{1}{4} k=-\frac{2}{7}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$28k^{2}+k-2=0$$

Denklemin her iki tarafına 2 ekleyin.

$$28k^{2}+k-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

-2 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$28k^{2}+k=-\left(-2\right)$$

-2 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$28k^{2}+k=2$$

Her iki tarafı 28 ile bölün.

$$\frac{28k^{2}+k}{28}=\frac{2}{28}$$

28 ile bölme, 28 ile çarpma işlemini geri alır.

$$k^{2}+\frac{1}{28}k=\frac{2}{28}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{2}{28} kesrini sadeleştirin.

$$k^{2}+\frac{1}{28}k=\frac{1}{14}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{1}{28} sayısını 2 değerine bölerek \frac{1}{56} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{1}{56} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$k^{2}+\frac{1}{28}k+\left(\frac{1}{56}\right)^{2}=\frac{1}{14}+\left(\frac{1}{56}\right)^{2}$$

\frac{1}{56} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$k^{2}+\frac{1}{28}k+\frac{1}{3136}=\frac{1}{14}+\frac{1}{3136}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{1}{14} ile \frac{1}{3136} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$k^{2}+\frac{1}{28}k+\frac{1}{3136}=\frac{225}{3136}$$

Faktör k^{2}+\frac{1}{28}k+\frac{1}{3136}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{1}{56}\right)^{2}=\frac{225}{3136}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(k+\frac{1}{56}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{3136}}$$

Sadeleştirin.

$$k+\frac{1}{56}=\frac{15}{56} k+\frac{1}{56}=-\frac{15}{56}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{1}{56} çıkarın.

$$k=\frac{1}{4} k=-\frac{2}{7}$$