256x^2-32x+1=0 Denklemini Çözme

$$256 { x }^{ 2 } -32x+1 = 0$$

x için çözün

$$x=\frac{1}{16}=0.0625$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 256x^{2}+ax+bx+1 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-32 ab=256\times 1=256$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b negatif olduğundan a ve b her ikisi de negatiftir. Çarpımı 256 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,-256 -2,-128 -4,-64 -8,-32 -16,-16$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1-256=-257 -2-128=-130 -4-64=-68 -8-32=-40 -16-16=-32$$

Çözüm, -32 toplamını veren çifttir.

$$a=-16 b=-16$$

256x^{2}-32x+1 ifadesini \left(256x^{2}-16x\right)+\left(-16x+1\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(256x^{2}-16x\right)+\left(-16x+1\right)$$

İlk grubu 16x, ikinci grubu -1 ortak çarpan parantezine alın.

$$16x\left(16x-1\right)-\left(16x-1\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 16x-1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(16x-1\right)\left(16x-1\right)$$

İki terimli kare olarak yazın.

$$\left(16x-1\right)^{2}$$

Denklemin çözümünü bulmak için 16x-1=0 ifadesini çözün.

$$x=\frac{1}{16}$$

Karesel Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, karesel formül kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Karesel formül, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$256x^{2}-32x+1=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden formülünde a yerine 256, b yerine -32 ve c yerine 1 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 256}}{2\times 256}$$

-32 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 256}}{2\times 256}$$

-4 ile 256 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1024}}{2\times 256}$$

-1024 ile 1024 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{0}}{2\times 256}$$

0 sayısının karekökünü alın.

$$x=-\frac{-32}{2\times 256}$$

-32 sayısının tersi: 32.

$$x=\frac{32}{2\times 256}$$

2 ile 256 sayısını çarpın.

$$x=\frac{32}{512}$$

32 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{32}{512} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{1}{16}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$256x^{2}-32x+1=0$$

Denklemin her iki tarafından 1 çıkarın.

$$256x^{2}-32x+1-1=-1$$

1 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$256x^{2}-32x=-1$$

Her iki tarafı 256 ile bölün.

$$\frac{256x^{2}-32x}{256}=-\frac{1}{256}$$

256 ile bölme, 256 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\left(-\frac{32}{256}\right)x=-\frac{1}{256}$$

32 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-32}{256} kesrini sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x=-\frac{1}{256}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{1}{8} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{1}{16} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{1}{16} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\left(-\frac{1}{16}\right)^{2}=-\frac{1}{256}+\left(-\frac{1}{16}\right)^{2}$$

-\frac{1}{16} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=\frac{-1+1}{256}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{1}{256} ile \frac{1}{256} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=0$$

x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256} ifadesini çarpanlarına ayırın. Genellikle x^{2}+bx+c tam kare olduğunda her zaman \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} şeklinde çarpanlara ayrılabilir.

$$\left(x-\frac{1}{16}\right)^{2}=0$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{16}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{1}{16}=0 x-\frac{1}{16}=0$$

Denklemin her iki tarafına \frac{1}{16} ekleyin.

$$x=\frac{1}{16} x=\frac{1}{16}$$

Denklem çözüldü. Çözümleri aynı.

$$x=\frac{1}{16}$$