25x^2-40x+16=0 Denklemini Çözme

$$25 x ^ { 2 } - 40 x + 16 = 0$$

x için çözün

$$x=\frac{4}{5}=0,8$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 25x^{2}+ax+bx+16 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-40 ab=25\times 16=400$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b negatif olduğundan a ve b her ikisi de negatiftir. Çarpımı 400 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,-400 -2,-200 -4,-100 -5,-80 -8,-50 -10,-40 -16,-25 -20,-20$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1-400=-401 -2-200=-202 -4-100=-104 -5-80=-85 -8-50=-58 -10-40=-50 -16-25=-41 -20-20=-40$$

Çözüm, -40 toplamını veren çifttir.

$$a=-20 b=-20$$

25x^{2}-40x+16 ifadesini \left(25x^{2}-20x\right)+\left(-20x+16\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(25x^{2}-20x\right)+\left(-20x+16\right)$$

İlk grubu 5x, ikinci grubu -4 ortak çarpan parantezine alın.

$$5x\left(5x-4\right)-4\left(5x-4\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 5x-4 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(5x-4\right)\left(5x-4\right)$$

İki terimli kare olarak yazın.

$$\left(5x-4\right)^{2}$$

Denklemin çözümünü bulmak için 5x-4=0 ifadesini çözün.

$$x=\frac{4}{5}$$

Karesel Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, karesel formül kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Karesel formül, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$25x^{2}-40x+16=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden formülünde a yerine 25, b yerine -40 ve c yerine 16 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

-40 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

-4 ile 25 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-100\times 16}}{2\times 25}$$

-100 ile 16 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1600}}{2\times 25}$$

-1600 ile 1600 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

0 sayısının karekökünü alın.

$$x=-\frac{-40}{2\times 25}$$

-40 sayısının tersi: 40.

$$x=\frac{40}{2\times 25}$$

2 ile 25 sayısını çarpın.

$$x=\frac{40}{50}$$

10 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{40}{50} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{4}{5}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$25x^{2}-40x+16=0$$

Denklemin her iki tarafından 16 çıkarın.

$$25x^{2}-40x+16-16=-16$$

16 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$25x^{2}-40x=-16$$

Her iki tarafı 25 ile bölün.

$$\frac{25x^{2}-40x}{25}=-\frac{16}{25}$$

25 ile bölme, 25 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{25}\right)x=-\frac{16}{25}$$

5 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-40}{25} kesrini sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=-\frac{16}{25}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{8}{5} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{4}{5} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{4}{5} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=-\frac{16}{25}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}$$

-\frac{4}{5} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{-16+16}{25}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{16}{25} ile \frac{16}{25} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=0$$

x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25} ifadesini çarpanlarına ayırın. Genellikle x^{2}+bx+c tam kare olduğunda her zaman \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} şeklinde çarpanlara ayrılabilir.

$$\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}=0$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{4}{5}=0 x-\frac{4}{5}=0$$

Denklemin her iki tarafına \frac{4}{5} ekleyin.

$$x=\frac{4}{5} x=\frac{4}{5}$$

Denklem çözüldü. Çözümleri aynı.

$$x=\frac{4}{5}$$