25x^2+250x-15000=0 Denklemini Çözme

$$25 { x }^{ 2 } +250x-15000=0$$

x için çözün

$$x=-30$$

$$x=20$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki tarafı 25 ile bölün.

$$x^{2}+10x-600=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın x^{2}+ax+bx-600 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=10 ab=1\left(-600\right)=-600$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -600 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,600 -2,300 -3,200 -4,150 -5,120 -6,100 -8,75 -10,60 -12,50 -15,40 -20,30 -24,25$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+600=599 -2+300=298 -3+200=197 -4+150=146 -5+120=115 -6+100=94 -8+75=67 -10+60=50 -12+50=38 -15+40=25 -20+30=10 -24+25=1$$

Çözüm, 10 toplamını veren çifttir.

$$a=-20 b=30$$

x^{2}+10x-600 ifadesini \left(x^{2}-20x\right)+\left(30x-600\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(x^{2}-20x\right)+\left(30x-600\right)$$

İlk grubu x, ikinci grubu 30 ortak çarpan parantezine alın.

$$x\left(x-20\right)+30\left(x-20\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-20 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-20\right)\left(x+30\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-20=0 ve x+30=0 çözün.

$$x=20 x=-30$$

Karesel Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, karesel formül kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Karesel formül, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$25x^{2}+250x-15000=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden formülünde a yerine 25, b yerine 250 ve c yerine -15000 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-250±\sqrt{250^{2}-4\times 25\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

250 sayısının karesi.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-4\times 25\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

-4 ile 25 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-100\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

-100 ile -15000 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500+1500000}}{2\times 25}$$

1500000 ile 62500 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-250±\sqrt{1562500}}{2\times 25}$$

1562500 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-250±1250}{2\times 25}$$

2 ile 25 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-250±1250}{50}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-250±1250}{50} denklemini çözün. 1250 ile -250 sayısını toplayın.

$$x=\frac{1000}{50}$$

1000 sayısını 50 ile bölün.

$$x=20$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-250±1250}{50} denklemini çözün. 1250 sayısını -250 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{1500}{50}$$

-1500 sayısını 50 ile bölün.

$$x=-30$$

Denklem çözüldü.

$$x=20 x=-30$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$25x^{2}+250x-15000=0$$

Denklemin her iki tarafına 15000 ekleyin.

$$25x^{2}+250x-15000-\left(-15000\right)=-\left(-15000\right)$$

-15000 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$25x^{2}+250x=-\left(-15000\right)$$

-15000 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$25x^{2}+250x=15000$$

Her iki tarafı 25 ile bölün.

$$\frac{25x^{2}+250x}{25}=\frac{15000}{25}$$

25 ile bölme, 25 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{250}{25}x=\frac{15000}{25}$$

250 sayısını 25 ile bölün.

$$x^{2}+10x=\frac{15000}{25}$$

15000 sayısını 25 ile bölün.

$$x^{2}+10x=600$$

x teriminin katsayısı olan 10 sayısını 2 değerine bölerek 5 sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına 5 sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+10x+5^{2}=600+5^{2}$$

5 sayısının karesi.

$$x^{2}+10x+25=600+25$$

25 ile 600 sayısını toplayın.

$$x^{2}+10x+25=625$$

x^{2}+10x+25 ifadesini çarpanlarına ayırın. Genellikle x^{2}+bx+c tam kare olduğunda her zaman \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} şeklinde çarpanlara ayrılabilir.

$$\left(x+5\right)^{2}=625$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+5\right)^{2}}=\sqrt{625}$$

Sadeleştirin.

$$x+5=25 x+5=-25$$

Denklemin her iki tarafından 5 çıkarın.

$$x=20 x=-30$$