25left(4+xright)^2+7(5-x)(5+x)=295-45x^2 Denklemini Çözme

$$25 { \left(4+x \right) }^{ 2 } +7(5-x)(5+x)=295-45 { x }^{ 2 }$$

x için çözün (complex solution)

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63}\approx -1,587301587+1,387414183i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}\approx -1,587301587-1,387414183i$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

\left(4+x\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$25\left(16+8x+x^{2}\right)+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

25 sayısını 16+8x+x^{2} ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$400+200x+25x^{2}+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

7 sayısını 5-x ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$400+200x+25x^{2}+\left(35-7x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

35-7x ile 5+x ifadesini çarpmak için dağılma özelliğini kullanın ve benzer terimleri birleştirin.

$$400+200x+25x^{2}+175-7x^{2}=295-45x^{2}$$

400 ve 175 sayılarını toplayarak 575 sonucunu bulun.

$$575+200x+25x^{2}-7x^{2}=295-45x^{2}$$

25x^{2} ve -7x^{2} terimlerini birleştirerek 18x^{2} sonucunu elde edin.

$$575+200x+18x^{2}=295-45x^{2}$$

Her iki taraftan 295 sayısını çıkarın.

$$575+200x+18x^{2}-295=-45x^{2}$$

575 sayısından 295 sayısını çıkarıp 280 sonucunu bulun.

$$280+200x+18x^{2}=-45x^{2}$$

Her iki tarafa 45x^{2} ekleyin.

$$280+200x+18x^{2}+45x^{2}=0$$

18x^{2} ve 45x^{2} terimlerini birleştirerek 63x^{2} sonucunu elde edin.

$$280+200x+63x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$63x^{2}+200x+280=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 63, b yerine 200 ve c yerine 280 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-200±\sqrt{200^{2}-4\times 63\times 280}}{2\times 63}$$

200 sayısının karesi.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-4\times 63\times 280}}{2\times 63}$$

-4 ile 63 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-252\times 280}}{2\times 63}$$

-252 ile 280 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-70560}}{2\times 63}$$

-70560 ile 40000 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-200±\sqrt{-30560}}{2\times 63}$$

-30560 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{2\times 63}$$

2 ile 63 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126} denklemini çözün. 4i\sqrt{1910} ile -200 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-200+4\sqrt{1910}i}{126}$$

-200+4i\sqrt{1910} sayısını 126 ile bölün.

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126} denklemini çözün. 4i\sqrt{1910} sayısını -200 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{-4\sqrt{1910}i-200}{126}$$

-200-4i\sqrt{1910} sayısını 126 ile bölün.

$$x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63} x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

\left(4+x\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$25\left(16+8x+x^{2}\right)+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

25 sayısını 16+8x+x^{2} ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$400+200x+25x^{2}+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

7 sayısını 5-x ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$400+200x+25x^{2}+\left(35-7x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

35-7x ile 5+x ifadesini çarpmak için dağılma özelliğini kullanın ve benzer terimleri birleştirin.

$$400+200x+25x^{2}+175-7x^{2}=295-45x^{2}$$

400 ve 175 sayılarını toplayarak 575 sonucunu bulun.

$$575+200x+25x^{2}-7x^{2}=295-45x^{2}$$

25x^{2} ve -7x^{2} terimlerini birleştirerek 18x^{2} sonucunu elde edin.

$$575+200x+18x^{2}=295-45x^{2}$$

Her iki tarafa 45x^{2} ekleyin.

$$575+200x+18x^{2}+45x^{2}=295$$

18x^{2} ve 45x^{2} terimlerini birleştirerek 63x^{2} sonucunu elde edin.

$$575+200x+63x^{2}=295$$

Her iki taraftan 575 sayısını çıkarın.

$$200x+63x^{2}=295-575$$

295 sayısından 575 sayısını çıkarıp -280 sonucunu bulun.

$$200x+63x^{2}=-280$$

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$63x^{2}+200x=-280$$

Her iki tarafı 63 ile bölün.

$$\frac{63x^{2}+200x}{63}=-\frac{280}{63}$$

63 ile bölme, 63 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x=-\frac{280}{63}$$

7 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-280}{63} kesrini sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x=-\frac{40}{9}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{200}{63} sayısını 2 değerine bölerek \frac{100}{63} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{100}{63} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\left(\frac{100}{63}\right)^{2}=-\frac{40}{9}+\left(\frac{100}{63}\right)^{2}$$

\frac{100}{63} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969}=-\frac{40}{9}+\frac{10000}{3969}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{40}{9} ile \frac{10000}{3969} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969}=-\frac{7640}{3969}$$

Faktör x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{100}{63}\right)^{2}=-\frac{7640}{3969}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{63}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7640}{3969}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{100}{63}=\frac{2\sqrt{1910}i}{63} x+\frac{100}{63}=-\frac{2\sqrt{1910}i}{63}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{100}{63} çıkarın.

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63} x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$