24x^2+6x-3=0 Denklemini Çözme

$$24 x ^ { 2 } + 6 x - 3 = 0$$

x için çözün

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki tarafı 3 ile bölün.

$$8x^{2}+2x-1=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 8x^{2}+ax+bx-1 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=2 ab=8\left(-1\right)=-8$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -8 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,8 -2,4$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+8=7 -2+4=2$$

Çözüm, 2 toplamını veren çifttir.

$$a=-2 b=4$$

8x^{2}+2x-1 ifadesini \left(8x^{2}-2x\right)+\left(4x-1\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(8x^{2}-2x\right)+\left(4x-1\right)$$

8x^{2}-2x ifadesini 2x ortak çarpan parantezine alın.

$$2x\left(4x-1\right)+4x-1$$

Dağılma özelliği kullanarak 4x-1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(4x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 4x-1=0 ve 2x+1=0 çözün.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{2}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$24x^{2}+6x-3=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 24, b yerine 6 ve c yerine -3 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 24\left(-3\right)}}{2\times 24}$$

6 sayısının karesi.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 24\left(-3\right)}}{2\times 24}$$

-4 ile 24 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-96\left(-3\right)}}{2\times 24}$$

-96 ile -3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+288}}{2\times 24}$$

288 ile 36 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-6±\sqrt{324}}{2\times 24}$$

324 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-6±18}{2\times 24}$$

2 ile 24 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-6±18}{48}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-6±18}{48} denklemini çözün. 18 ile -6 sayısını toplayın.

$$x=\frac{12}{48}$$

12 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{12}{48} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{1}{4}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-6±18}{48} denklemini çözün. 18 sayısını -6 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{24}{48}$$

24 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-24}{48} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{2}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$24x^{2}+6x-3=0$$

Denklemin her iki tarafına 3 ekleyin.

$$24x^{2}+6x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

-3 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$24x^{2}+6x=-\left(-3\right)$$

-3 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$24x^{2}+6x=3$$

Her iki tarafı 24 ile bölün.

$$\frac{24x^{2}+6x}{24}=\frac{3}{24}$$

24 ile bölme, 24 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{6}{24}x=\frac{3}{24}$$

6 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{6}{24} kesrini sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{3}{24}$$

3 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{3}{24} kesrini sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{1}{8}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{1}{4} sayısını 2 değerine bölerek \frac{1}{8} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{1}{8} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{1}{8}+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}$$

\frac{1}{8} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{1}{8}+\frac{1}{64}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{1}{8} ile \frac{1}{64} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{9}{64}$$

Faktör x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{9}{64}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{64}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{1}{8}=\frac{3}{8} x+\frac{1}{8}=-\frac{3}{8}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{1}{8} çıkarın.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{2}$$