24k^2+50k+24=0 Denklemini Çözme

$$24 { k }^{ 2 } +50k+24 = 0$$

k için çözün

$$k = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1,333333333$$

$$k=-\frac{3}{4}=-0,75$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki tarafı 2 ile bölün.

$$12k^{2}+25k+12=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 12k^{2}+ak+bk+12 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=25 ab=12\times 12=144$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b pozitif olduğundan a ve b her ikisi de pozitif. Çarpımı 144 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,144 2,72 3,48 4,36 6,24 8,18 9,16 12,12$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1+144=145 2+72=74 3+48=51 4+36=40 6+24=30 8+18=26 9+16=25 12+12=24$$

Çözüm, 25 toplamını veren çifttir.

$$a=9 b=16$$

12k^{2}+25k+12 ifadesini \left(12k^{2}+9k\right)+\left(16k+12\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(12k^{2}+9k\right)+\left(16k+12\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 4 3k çarpanlarına ayırın.

$$3k\left(4k+3\right)+4\left(4k+3\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 4k+3 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(4k+3\right)\left(3k+4\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 4k+3=0 ve 3k+4=0 çözün.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$24k^{2}+50k+24=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 24, b yerine 50 ve c yerine 24 değerini koyarak çözün.

$$k=\frac{-50±\sqrt{50^{2}-4\times 24\times 24}}{2\times 24}$$

50 sayısının karesi.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-4\times 24\times 24}}{2\times 24}$$

-4 ile 24 sayısını çarpın.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-96\times 24}}{2\times 24}$$

-96 ile 24 sayısını çarpın.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-2304}}{2\times 24}$$

-2304 ile 2500 sayısını toplayın.

$$k=\frac{-50±\sqrt{196}}{2\times 24}$$

196 sayısının karekökünü alın.

$$k=\frac{-50±14}{2\times 24}$$

2 ile 24 sayısını çarpın.

$$k=\frac{-50±14}{48}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak k=\frac{-50±14}{48} denklemini çözün. 14 ile -50 sayısını toplayın.

$$k=-\frac{36}{48}$$

12 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-36}{48} kesrini sadeleştirin.

$$k=-\frac{3}{4}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak k=\frac{-50±14}{48} denklemini çözün. 14 sayısını -50 sayısından çıkarın.

$$k=-\frac{64}{48}$$

16 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-64}{48} kesrini sadeleştirin.

$$k=-\frac{4}{3}$$

Denklem çözüldü.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$24k^{2}+50k+24=0$$

Denklemin her iki tarafından 24 çıkarın.

$$24k^{2}+50k+24-24=-24$$

24 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$24k^{2}+50k=-24$$

Her iki tarafı 24 ile bölün.

$$\frac{24k^{2}+50k}{24}=-\frac{24}{24}$$

24 ile bölme, 24 ile çarpma işlemini geri alır.

$$k^{2}+\frac{50}{24}k=-\frac{24}{24}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{50}{24} kesrini sadeleştirin.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k=-\frac{24}{24}$$

-24 sayısını 24 ile bölün.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k=-1$$

x teriminin katsayısı olan \frac{25}{12} sayısını 2 değerine bölerek \frac{25}{24} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{25}{24} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}=-1+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}$$

\frac{25}{24} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}=-1+\frac{625}{576}$$

\frac{625}{576} ile -1 sayısını toplayın.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}=\frac{49}{576}$$

Faktör k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{49}{576}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(k+\frac{25}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{576}}$$

Sadeleştirin.

$$k+\frac{25}{24}=\frac{7}{24} k+\frac{25}{24}=-\frac{7}{24}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{25}{24} çıkarın.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$