24+5x-x^2=0 Denklemini Çözme

$$24 + 5 x - x ^ { 2 } = 0$$

x için çözün

$$x=-3$$

$$x=8$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Standart biçime dönüştürmek için polinomu yeniden düzenleyin. Terimleri üslerine göre azalan düzende sıralayın.

$$-x^{2}+5x+24=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın -x^{2}+ax+bx+24 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=5 ab=-24=-24$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -24 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Çözüm, 5 toplamını veren çifttir.

$$a=8 b=-3$$

-x^{2}+5x+24 ifadesini \left(-x^{2}+8x\right)+\left(-3x+24\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(-x^{2}+8x\right)+\left(-3x+24\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve -3 -x çarpanlarına ayırın.

$$-x\left(x-8\right)-3\left(x-8\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-8 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-8\right)\left(-x-3\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-8=0 ve -x-3=0 çözün.

$$x=8 x=-3$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$-x^{2}+5x+24=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine -1, b yerine 5 ve c yerine 24 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-1\right)\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

5 sayısının karesi.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-1\right)\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

-4 ile -1 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+4\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

4 ile 24 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+96}}{2\left(-1\right)}$$

96 ile 25 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-5±\sqrt{121}}{2\left(-1\right)}$$

121 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-5±11}{2\left(-1\right)}$$

2 ile -1 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-5±11}{-2}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-5±11}{-2} denklemini çözün. 11 ile -5 sayısını toplayın.

$$x=\frac{6}{-2}$$

6 sayısını -2 ile bölün.

$$x=-3$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-5±11}{-2} denklemini çözün. 11 sayısını -5 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{16}{-2}$$

-16 sayısını -2 ile bölün.

$$x=8$$

Denklem çözüldü.

$$x=-3 x=8$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$-x^{2}+5x+24=0$$

Denklemin her iki tarafından 24 çıkarın.

$$-x^{2}+5x+24-24=-24$$

24 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$-x^{2}+5x=-24$$

Her iki tarafı -1 ile bölün.

$$\frac{-x^{2}+5x}{-1}=-\frac{24}{-1}$$

-1 ile bölme, -1 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{5}{-1}x=-\frac{24}{-1}$$

5 sayısını -1 ile bölün.

$$x^{2}-5x=-\frac{24}{-1}$$

-24 sayısını -1 ile bölün.

$$x^{2}-5x=24$$

x teriminin katsayısı olan -5 sayısını 2 değerine bölerek -\frac{5}{2} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{5}{2} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=24+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

-\frac{5}{2} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=24+\frac{25}{4}$$

\frac{25}{4} ile 24 sayısını toplayın.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{121}{4}$$

Faktör x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{11}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{11}{2}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{5}{2} ekleyin.

$$x=8 x=-3$$