20p^2+33p+16=6 Denklemini Çözme

$$20 p ^ { 2 } + 33 p + 16 = 6$$

p için çözün

$$p = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4} = -1,25$$

$$p=-\frac{2}{5}=-0,4$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki taraftan 6 sayısını çıkarın.

$$20p^{2}+33p+16-6=0$$

16 sayısından 6 sayısını çıkarıp 10 sonucunu bulun.

$$20p^{2}+33p+10=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 20p^{2}+ap+bp+10 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=33 ab=20\times 10=200$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b pozitif olduğundan a ve b her ikisi de pozitif. Çarpımı 200 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,200 2,100 4,50 5,40 8,25 10,20$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1+200=201 2+100=102 4+50=54 5+40=45 8+25=33 10+20=30$$

Çözüm, 33 toplamını veren çifttir.

$$a=8 b=25$$

20p^{2}+33p+10 ifadesini \left(20p^{2}+8p\right)+\left(25p+10\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(20p^{2}+8p\right)+\left(25p+10\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 5 4p çarpanlarına ayırın.

$$4p\left(5p+2\right)+5\left(5p+2\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 5p+2 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(5p+2\right)\left(4p+5\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 5p+2=0 ve 4p+5=0 çözün.

$$p=-\frac{2}{5} p=-\frac{5}{4}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$20p^{2}+33p+16=6$$

Denklemin her iki tarafından 6 çıkarın.

$$20p^{2}+33p+16-6=6-6$$

6 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$20p^{2}+33p+16-6=0$$

6 sayısını 16 sayısından çıkarın.

$$20p^{2}+33p+10=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 20, b yerine 33 ve c yerine 10 değerini koyarak çözün.

$$p=\frac{-33±\sqrt{33^{2}-4\times 20\times 10}}{2\times 20}$$

33 sayısının karesi.

$$p=\frac{-33±\sqrt{1089-4\times 20\times 10}}{2\times 20}$$

-4 ile 20 sayısını çarpın.

$$p=\frac{-33±\sqrt{1089-80\times 10}}{2\times 20}$$

-80 ile 10 sayısını çarpın.

$$p=\frac{-33±\sqrt{1089-800}}{2\times 20}$$

-800 ile 1089 sayısını toplayın.

$$p=\frac{-33±\sqrt{289}}{2\times 20}$$

289 sayısının karekökünü alın.

$$p=\frac{-33±17}{2\times 20}$$

2 ile 20 sayısını çarpın.

$$p=\frac{-33±17}{40}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak p=\frac{-33±17}{40} denklemini çözün. 17 ile -33 sayısını toplayın.

$$p=-\frac{16}{40}$$

8 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-16}{40} kesrini sadeleştirin.

$$p=-\frac{2}{5}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak p=\frac{-33±17}{40} denklemini çözün. 17 sayısını -33 sayısından çıkarın.

$$p=-\frac{50}{40}$$

10 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-50}{40} kesrini sadeleştirin.

$$p=-\frac{5}{4}$$

Denklem çözüldü.

$$p=-\frac{2}{5} p=-\frac{5}{4}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$20p^{2}+33p+16=6$$

Denklemin her iki tarafından 16 çıkarın.

$$20p^{2}+33p+16-16=6-16$$

16 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$20p^{2}+33p=6-16$$

16 sayısını 6 sayısından çıkarın.

$$20p^{2}+33p=-10$$

Her iki tarafı 20 ile bölün.

$$\frac{20p^{2}+33p}{20}=-\frac{10}{20}$$

20 ile bölme, 20 ile çarpma işlemini geri alır.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p=-\frac{10}{20}$$

10 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-10}{20} kesrini sadeleştirin.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p=-\frac{1}{2}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{33}{20} sayısını 2 değerine bölerek \frac{33}{40} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{33}{40} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p+\left(\frac{33}{40}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{33}{40}\right)^{2}$$

\frac{33}{40} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p+\frac{1089}{1600}=-\frac{1}{2}+\frac{1089}{1600}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{1}{2} ile \frac{1089}{1600} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p+\frac{1089}{1600}=\frac{289}{1600}$$

Faktör p^{2}+\frac{33}{20}p+\frac{1089}{1600}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p+\frac{33}{40}\right)^{2}=\frac{289}{1600}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(p+\frac{33}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{1600}}$$

Sadeleştirin.

$$p+\frac{33}{40}=\frac{17}{40} p+\frac{33}{40}=-\frac{17}{40}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{33}{40} çıkarın.

$$p=-\frac{2}{5} p=-\frac{5}{4}$$