20x^2-x-1=0 Denklemini Çözme

$$20 { x }^{ 2 } -x-1 = 0$$

x için çözün

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 20x^{2}+ax+bx-1 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-1 ab=20\left(-1\right)=-20$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -20 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Çözüm, -1 toplamını veren çifttir.

$$a=-5 b=4$$

20x^{2}-x-1 ifadesini \left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right)$$

20x^{2}-5x ifadesini 5x ortak çarpan parantezine alın.

$$5x\left(4x-1\right)+4x-1$$

Dağılma özelliği kullanarak 4x-1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(4x-1\right)\left(5x+1\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 4x-1=0 ve 5x+1=0 çözün.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$20x^{2}-x-1=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 20, b yerine -1 ve c yerine -1 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

-4 ile 20 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

-80 ile -1 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+80}}{2\times 20}$$

80 ile 1 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{81}}{2\times 20}$$

81 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±9}{2\times 20}$$

-1 sayısının tersi: 1.

$$x=\frac{1±9}{2\times 20}$$

2 ile 20 sayısını çarpın.

$$x=\frac{1±9}{40}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{1±9}{40} denklemini çözün. 9 ile 1 sayısını toplayın.

$$x=\frac{10}{40}$$

10 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{10}{40} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{1}{4}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{1±9}{40} denklemini çözün. 9 sayısını 1 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{8}{40}$$

8 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-8}{40} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$20x^{2}-x-1=0$$

Denklemin her iki tarafına 1 ekleyin.

$$20x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$20x^{2}-x=-\left(-1\right)$$

-1 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$20x^{2}-x=1$$

Her iki tarafı 20 ile bölün.

$$\frac{20x^{2}-x}{20}=\frac{1}{20}$$

20 ile bölme, 20 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x=\frac{1}{20}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{1}{20} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{1}{40} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{1}{40} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{1}{20}+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}$$

-\frac{1}{40} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{1}{20}+\frac{1}{1600}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{1}{20} ile \frac{1}{1600} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{81}{1600}$$

Faktör x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{81}{1600}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{1600}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{1}{40}=\frac{9}{40} x-\frac{1}{40}=-\frac{9}{40}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{1}{40} ekleyin.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$