2z^2-2z+5=0 Denklemini Çözme

$$2 z ^ { 2 } - 2 z + 5 = 0$$

z için çözün

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i=0,5+1,5i$$

$$z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i=0,5-1,5i$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$2z^{2}-2z+5=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 2, b yerine -2 ve c yerine 5 değerini koyarak çözün.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

-2 sayısının karesi.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

-4 ile 2 sayısını çarpın.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\times 5}}{2\times 2}$$

-8 ile 5 sayısını çarpın.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-40}}{2\times 2}$$

-40 ile 4 sayısını toplayın.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-36}}{2\times 2}$$

-36 sayısının karekökünü alın.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±6i}{2\times 2}$$

-2 sayısının tersi: 2.

$$z=\frac{2±6i}{2\times 2}$$

2 ile 2 sayısını çarpın.

$$z=\frac{2±6i}{4}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak z=\frac{2±6i}{4} denklemini çözün. 6i ile 2 sayısını toplayın.

$$z=\frac{2+6i}{4}$$

2+6i sayısını 4 ile bölün.

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak z=\frac{2±6i}{4} denklemini çözün. 6i sayısını 2 sayısından çıkarın.

$$z=\frac{2-6i}{4}$$

2-6i sayısını 4 ile bölün.

$$z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$$

Denklem çözüldü.

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$2z^{2}-2z+5=0$$

Denklemin her iki tarafından 5 çıkarın.

$$2z^{2}-2z+5-5=-5$$

5 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$2z^{2}-2z=-5$$

Her iki tarafı 2 ile bölün.

$$\frac{2z^{2}-2z}{2}=-\frac{5}{2}$$

2 ile bölme, 2 ile çarpma işlemini geri alır.

$$z^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)z=-\frac{5}{2}$$

-2 sayısını 2 ile bölün.

$$z^{2}-z=-\frac{5}{2}$$

x teriminin katsayısı olan -1 sayısını 2 değerine bölerek -\frac{1}{2} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{1}{2} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$z^{2}-z+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

-\frac{1}{2} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$z^{2}-z+\frac{1}{4}=-\frac{5}{2}+\frac{1}{4}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{5}{2} ile \frac{1}{4} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$z^{2}-z+\frac{1}{4}=-\frac{9}{4}$$

Faktör z^{2}-z+\frac{1}{4}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(z-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{9}{4}}$$

Sadeleştirin.

$$z-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}i z-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}i$$

Denklemin her iki tarafına \frac{1}{2} ekleyin.

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$$