2x^2-9x-35=0 Denklemini Çözme

$$2 x ^ { 2 } - 9 x - 35 = 0$$

x için çözün

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=7$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 2x^{2}+ax+bx-35 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-9 ab=2\left(-35\right)=-70$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -70 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-70 2,-35 5,-14 7,-10$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-70=-69 2-35=-33 5-14=-9 7-10=-3$$

Çözüm, -9 toplamını veren çifttir.

$$a=-14 b=5$$

2x^{2}-9x-35 ifadesini \left(2x^{2}-14x\right)+\left(5x-35\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(2x^{2}-14x\right)+\left(5x-35\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 5 2x çarpanlarına ayırın.

$$2x\left(x-7\right)+5\left(x-7\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-7 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-7\right)\left(2x+5\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-7=0 ve 2x+5=0 çözün.

$$x=7 x=-\frac{5}{2}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$2x^{2}-9x-35=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 2, b yerine -9 ve c yerine -35 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 2\left(-35\right)}}{2\times 2}$$

-9 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 2\left(-35\right)}}{2\times 2}$$

-4 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-8\left(-35\right)}}{2\times 2}$$

-8 ile -35 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+280}}{2\times 2}$$

280 ile 81 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{361}}{2\times 2}$$

361 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±19}{2\times 2}$$

-9 sayısının tersi: 9.

$$x=\frac{9±19}{2\times 2}$$

2 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{9±19}{4}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{9±19}{4} denklemini çözün. 19 ile 9 sayısını toplayın.

$$x=\frac{28}{4}$$

28 sayısını 4 ile bölün.

$$x=7$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{9±19}{4} denklemini çözün. 19 sayısını 9 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{10}{4}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-10}{4} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Denklem çözüldü.

$$x=7 x=-\frac{5}{2}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$2x^{2}-9x-35=0$$

Denklemin her iki tarafına 35 ekleyin.

$$2x^{2}-9x-35-\left(-35\right)=-\left(-35\right)$$

-35 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$2x^{2}-9x=-\left(-35\right)$$

-35 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$2x^{2}-9x=35$$

Her iki tarafı 2 ile bölün.

$$\frac{2x^{2}-9x}{2}=\frac{35}{2}$$

2 ile bölme, 2 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=\frac{35}{2}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{9}{2} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{9}{4} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{9}{4} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{35}{2}+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

-\frac{9}{4} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{35}{2}+\frac{81}{16}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{35}{2} ile \frac{81}{16} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{361}{16}$$

Faktör x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{361}{16}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{16}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{9}{4}=\frac{19}{4} x-\frac{9}{4}=-\frac{19}{4}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{9}{4} ekleyin.

$$x=7 x=-\frac{5}{2}$$