2x^2-3x-5=0 Denklemini Çözme

$$2 x ^ { 2 } - 3 x - 5 = 0$$

x için çözün

$$x=-1$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 2x^{2}+ax+bx-5 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-3 ab=2\left(-5\right)=-10$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -10 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-10 2,-5$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-10=-9 2-5=-3$$

Çözüm, -3 toplamını veren çifttir.

$$a=-5 b=2$$

2x^{2}-3x-5 ifadesini \left(2x^{2}-5x\right)+\left(2x-5\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(2x^{2}-5x\right)+\left(2x-5\right)$$

2x^{2}-5x ifadesini x ortak çarpan parantezine alın.

$$x\left(2x-5\right)+2x-5$$

Dağılma özelliği kullanarak 2x-5 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(2x-5\right)\left(x+1\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 2x-5=0 ve x+1=0 çözün.

$$x=\frac{5}{2} x=-1$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$2x^{2}-3x-5=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 2, b yerine -3 ve c yerine -5 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

-3 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

-4 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

-8 ile -5 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+40}}{2\times 2}$$

40 ile 9 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{49}}{2\times 2}$$

49 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±7}{2\times 2}$$

-3 sayısının tersi: 3.

$$x=\frac{3±7}{2\times 2}$$

2 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{3±7}{4}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{3±7}{4} denklemini çözün. 7 ile 3 sayısını toplayın.

$$x=\frac{10}{4}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{10}{4} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{5}{2}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{3±7}{4} denklemini çözün. 7 sayısını 3 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{4}{4}$$

-4 sayısını 4 ile bölün.

$$x=-1$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{5}{2} x=-1$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$2x^{2}-3x-5=0$$

Denklemin her iki tarafına 5 ekleyin.

$$2x^{2}-3x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

-5 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$2x^{2}-3x=-\left(-5\right)$$

-5 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$2x^{2}-3x=5$$

Her iki tarafı 2 ile bölün.

$$\frac{2x^{2}-3x}{2}=\frac{5}{2}$$

2 ile bölme, 2 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{5}{2}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{3}{2} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{3}{4} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{3}{4} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

-\frac{3}{4} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{5}{2}+\frac{9}{16}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{5}{2} ile \frac{9}{16} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{49}{16}$$

Faktör x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{7}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{7}{4}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{3}{4} ekleyin.

$$x=\frac{5}{2} x=-1$$