2x^2-3x-14=0 Denklemini Çözme

$$2 x ^ { 2 } - 3 x - 14 = 0$$

x için çözün

$$x=-2$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3,5$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 2x^{2}+ax+bx-14 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-3 ab=2\left(-14\right)=-28$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -28 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-28 2,-14 4,-7$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-28=-27 2-14=-12 4-7=-3$$

Çözüm, -3 toplamını veren çifttir.

$$a=-7 b=4$$

2x^{2}-3x-14 ifadesini \left(2x^{2}-7x\right)+\left(4x-14\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(2x^{2}-7x\right)+\left(4x-14\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 2 x çarpanlarına ayırın.

$$x\left(2x-7\right)+2\left(2x-7\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 2x-7 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(2x-7\right)\left(x+2\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 2x-7=0 ve x+2=0 çözün.

$$x=\frac{7}{2} x=-2$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$2x^{2}-3x-14=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 2, b yerine -3 ve c yerine -14 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

-3 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

-4 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

-8 ile -14 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+112}}{2\times 2}$$

112 ile 9 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

121 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±11}{2\times 2}$$

-3 sayısının tersi: 3.

$$x=\frac{3±11}{2\times 2}$$

2 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{3±11}{4}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{3±11}{4} denklemini çözün. 11 ile 3 sayısını toplayın.

$$x=\frac{14}{4}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{14}{4} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{7}{2}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{3±11}{4} denklemini çözün. 11 sayısını 3 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{8}{4}$$

-8 sayısını 4 ile bölün.

$$x=-2$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{7}{2} x=-2$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$2x^{2}-3x-14=0$$

Denklemin her iki tarafına 14 ekleyin.

$$2x^{2}-3x-14-\left(-14\right)=-\left(-14\right)$$

-14 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$2x^{2}-3x=-\left(-14\right)$$

-14 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$2x^{2}-3x=14$$

Her iki tarafı 2 ile bölün.

$$\frac{2x^{2}-3x}{2}=\frac{14}{2}$$

2 ile bölme, 2 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{14}{2}$$

14 sayısını 2 ile bölün.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=7$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{3}{2} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{3}{4} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{3}{4} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=7+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

-\frac{3}{4} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=7+\frac{9}{16}$$

\frac{9}{16} ile 7 sayısını toplayın.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{121}{16}$$

Faktör x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{11}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{11}{4}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{3}{4} ekleyin.

$$x=\frac{7}{2} x=-2$$