2x^2-24x+54=0 Denklemini Çözme

$$2 x ^ { 2 } - 24 x + 54 = 0$$

x için çözün

$$x=3$$

$$x=9$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki tarafı 2 ile bölün.

$$x^{2}-12x+27=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın x^{2}+ax+bx+27 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-12 ab=1\times 27=27$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b negatif olduğundan a ve b her ikisi de negatiftir. Çarpımı 27 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,-27 -3,-9$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1-27=-28 -3-9=-12$$

Çözüm, -12 toplamını veren çifttir.

$$a=-9 b=-3$$

x^{2}-12x+27 ifadesini \left(x^{2}-9x\right)+\left(-3x+27\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(-3x+27\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve -3 x çarpanlarına ayırın.

$$x\left(x-9\right)-3\left(x-9\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-9 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-9\right)\left(x-3\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-9=0 ve x-3=0 çözün.

$$x=9 x=3$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$2x^{2}-24x+54=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 2, b yerine -24 ve c yerine 54 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 2\times 54}}{2\times 2}$$

-24 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 2\times 54}}{2\times 2}$$

-4 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-8\times 54}}{2\times 2}$$

-8 ile 54 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-432}}{2\times 2}$$

-432 ile 576 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{144}}{2\times 2}$$

144 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±12}{2\times 2}$$

-24 sayısının tersi: 24.

$$x=\frac{24±12}{2\times 2}$$

2 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{24±12}{4}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{24±12}{4} denklemini çözün. 12 ile 24 sayısını toplayın.

$$x=\frac{36}{4}$$

36 sayısını 4 ile bölün.

$$x=9$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{24±12}{4} denklemini çözün. 12 sayısını 24 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{12}{4}$$

12 sayısını 4 ile bölün.

$$x=3$$

Denklem çözüldü.

$$x=9 x=3$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$2x^{2}-24x+54=0$$

Denklemin her iki tarafından 54 çıkarın.

$$2x^{2}-24x+54-54=-54$$

54 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$2x^{2}-24x=-54$$

Her iki tarafı 2 ile bölün.

$$\frac{2x^{2}-24x}{2}=-\frac{54}{2}$$

2 ile bölme, 2 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{2}\right)x=-\frac{54}{2}$$

-24 sayısını 2 ile bölün.

$$x^{2}-12x=-\frac{54}{2}$$

-54 sayısını 2 ile bölün.

$$x^{2}-12x=-27$$

x teriminin katsayısı olan -12 sayısını 2 değerine bölerek -6 sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -6 sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=-27+\left(-6\right)^{2}$$

-6 sayısının karesi.

$$x^{2}-12x+36=-27+36$$

36 ile -27 sayısını toplayın.

$$x^{2}-12x+36=9$$

Faktör x^{2}-12x+36. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-6\right)^{2}=9$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Sadeleştirin.

$$x-6=3 x-6=-3$$

Denklemin her iki tarafına 6 ekleyin.

$$x=9 x=3$$