2x^2-2x-12=28 Denklemini Çözme

$$2 x ^ { 2 } - 2 x - 12 = 28$$

x için çözün

$$x=-4$$

$$x=5$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki taraftan 28 sayısını çıkarın.

$$2x^{2}-2x-12-28=0$$

-12 sayısından 28 sayısını çıkarıp -40 sonucunu bulun.

$$2x^{2}-2x-40=0$$

Her iki tarafı 2 ile bölün.

$$x^{2}-x-20=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın x^{2}+ax+bx-20 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-1 ab=1\left(-20\right)=-20$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -20 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Çözüm, -1 toplamını veren çifttir.

$$a=-5 b=4$$

x^{2}-x-20 ifadesini \left(x^{2}-5x\right)+\left(4x-20\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(4x-20\right)$$

İlk grubu x, ikinci grubu 4 ortak çarpan parantezine alın.

$$x\left(x-5\right)+4\left(x-5\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-5 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-5\right)\left(x+4\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-5=0 ve x+4=0 çözün.

$$x=5 x=-4$$

Karesel Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, karesel formül kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Karesel formül, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$2x^{2}-2x-12=28$$

Denklemin her iki tarafından 28 çıkarın.

$$2x^{2}-2x-12-28=28-28$$

28 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$2x^{2}-2x-12-28=0$$

28 sayısını -12 sayısından çıkarın.

$$2x^{2}-2x-40=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden formülünde a yerine 2, b yerine -2 ve c yerine -40 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

-2 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

-4 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

-8 ile -40 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+320}}{2\times 2}$$

320 ile 4 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{324}}{2\times 2}$$

324 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±18}{2\times 2}$$

-2 sayısının tersi: 2.

$$x=\frac{2±18}{2\times 2}$$

2 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{2±18}{4}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{2±18}{4} denklemini çözün. 18 ile 2 sayısını toplayın.

$$x=\frac{20}{4}$$

20 sayısını 4 ile bölün.

$$x=5$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{2±18}{4} denklemini çözün. 18 sayısını 2 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{16}{4}$$

-16 sayısını 4 ile bölün.

$$x=-4$$

Denklem çözüldü.

$$x=5 x=-4$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$2x^{2}-2x-12=28$$

Denklemin her iki tarafına 12 ekleyin.

$$2x^{2}-2x-12-\left(-12\right)=28-\left(-12\right)$$

-12 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$2x^{2}-2x=28-\left(-12\right)$$

-12 sayısını 28 sayısından çıkarın.

$$2x^{2}-2x=40$$

Her iki tarafı 2 ile bölün.

$$\frac{2x^{2}-2x}{2}=\frac{40}{2}$$

2 ile bölme, 2 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)x=\frac{40}{2}$$

-2 sayısını 2 ile bölün.

$$x^{2}-x=\frac{40}{2}$$

40 sayısını 2 ile bölün.

$$x^{2}-x=20$$

x teriminin katsayısı olan -1 sayısını 2 değerine bölerek -\frac{1}{2} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{1}{2} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=20+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

-\frac{1}{2} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=20+\frac{1}{4}$$

\frac{1}{4} ile 20 sayısını toplayın.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{81}{4}$$

x^{2}-x+\frac{1}{4} ifadesini çarpanlarına ayırın. Genellikle x^{2}+bx+c tam kare olduğunda her zaman \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} şeklinde çarpanlara ayrılabilir.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{9}{2}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{1}{2} ekleyin.

$$x=5 x=-4$$