2x^2-2x-1=0 Denklemini Çözme

$$2 x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0$$

x için çözün

$$x = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \approx 1,366025404$$

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\approx -0,366025404$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 2, b yerine -2 ve c yerine -1 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

-2 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

-4 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

-8 ile -1 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2\times 2}$$

8 ile 4 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2\times 2}$$

12 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

-2 sayısının tersi: 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

2 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} denklemini çözün. 2\sqrt{3} ile 2 sayısını toplayın.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{4}$$

2+2\sqrt{3} sayısını 4 ile bölün.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} denklemini çözün. 2\sqrt{3} sayısını 2 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{4}$$

2-2\sqrt{3} sayısını 4 ile bölün.

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Denklemin her iki tarafına 1 ekleyin.

$$2x^{2}-2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$2x^{2}-2x=-\left(-1\right)$$

-1 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$2x^{2}-2x=1$$

Her iki tarafı 2 ile bölün.

$$\frac{2x^{2}-2x}{2}=\frac{1}{2}$$

2 ile bölme, 2 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)x=\frac{1}{2}$$

-2 sayısını 2 ile bölün.

$$x^{2}-x=\frac{1}{2}$$

x teriminin katsayısı olan -1 sayısını 2 değerine bölerek -\frac{1}{2} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{1}{2} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

-\frac{1}{2} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{1}{2} ile \frac{1}{4} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Faktör x^{2}-x+\frac{1}{4}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{1}{2} ekleyin.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$