2x^2+7x-4=0 Denklemini Çözme

$$2 x ^ { 2 } + 7 x - 4 = 0$$

x için çözün

$$x=-4$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 2x^{2}+ax+bx-4 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=7 ab=2\left(-4\right)=-8$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -8 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,8 -2,4$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+8=7 -2+4=2$$

Çözüm, 7 toplamını veren çifttir.

$$a=-1 b=8$$

2x^{2}+7x-4 ifadesini \left(2x^{2}-x\right)+\left(8x-4\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(2x^{2}-x\right)+\left(8x-4\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 4 x çarpanlarına ayırın.

$$x\left(2x-1\right)+4\left(2x-1\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 2x-1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(2x-1\right)\left(x+4\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 2x-1=0 ve x+4=0 çözün.

$$x=\frac{1}{2} x=-4$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$2x^{2}+7x-4=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 2, b yerine 7 ve c yerine -4 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\left(-4\right)}}{2\times 2}$$

7 sayısının karesi.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\left(-4\right)}}{2\times 2}$$

-4 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\left(-4\right)}}{2\times 2}$$

-8 ile -4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+32}}{2\times 2}$$

32 ile 49 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-7±\sqrt{81}}{2\times 2}$$

81 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-7±9}{2\times 2}$$

2 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-7±9}{4}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-7±9}{4} denklemini çözün. 9 ile -7 sayısını toplayın.

$$x=\frac{2}{4}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{2}{4} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{1}{2}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-7±9}{4} denklemini çözün. 9 sayısını -7 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{16}{4}$$

-16 sayısını 4 ile bölün.

$$x=-4$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{1}{2} x=-4$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$2x^{2}+7x-4=0$$

Denklemin her iki tarafına 4 ekleyin.

$$2x^{2}+7x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

-4 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$2x^{2}+7x=-\left(-4\right)$$

-4 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$2x^{2}+7x=4$$

Her iki tarafı 2 ile bölün.

$$\frac{2x^{2}+7x}{2}=\frac{4}{2}$$

2 ile bölme, 2 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=\frac{4}{2}$$

4 sayısını 2 ile bölün.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=2$$

x teriminin katsayısı olan \frac{7}{2} sayısını 2 değerine bölerek \frac{7}{4} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{7}{4} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=2+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

\frac{7}{4} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=2+\frac{49}{16}$$

\frac{49}{16} ile 2 sayısını toplayın.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{81}{16}$$

Faktör x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{9}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{9}{4}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{7}{4} çıkarın.

$$x=\frac{1}{2} x=-4$$