2x^2+7x+5=0 Denklemini Çözme

$$2 x ^ { 2 } + 7 x + 5 = 0$$

x için çözün

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=-1$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 2x^{2}+ax+bx+5 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=7 ab=2\times 5=10$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b pozitif olduğundan a ve b her ikisi de pozitif. Çarpımı 10 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,10 2,5$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1+10=11 2+5=7$$

Çözüm, 7 toplamını veren çifttir.

$$a=2 b=5$$

2x^{2}+7x+5 ifadesini \left(2x^{2}+2x\right)+\left(5x+5\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(2x^{2}+2x\right)+\left(5x+5\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 5 2x çarpanlarına ayırın.

$$2x\left(x+1\right)+5\left(x+1\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x+1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x+1\right)\left(2x+5\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x+1=0 ve 2x+5=0 çözün.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$2x^{2}+7x+5=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 2, b yerine 7 ve c yerine 5 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

7 sayısının karesi.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

-4 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\times 5}}{2\times 2}$$

-8 ile 5 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40}}{2\times 2}$$

-40 ile 49 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-7±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

9 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-7±3}{2\times 2}$$

2 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-7±3}{4}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-7±3}{4} denklemini çözün. 3 ile -7 sayısını toplayın.

$$x=-\frac{4}{4}$$

-4 sayısını 4 ile bölün.

$$x=-1$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-7±3}{4} denklemini çözün. 3 sayısını -7 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{10}{4}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-10}{4} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Denklem çözüldü.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$2x^{2}+7x+5=0$$

Denklemin her iki tarafından 5 çıkarın.

$$2x^{2}+7x+5-5=-5$$

5 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$2x^{2}+7x=-5$$

Her iki tarafı 2 ile bölün.

$$\frac{2x^{2}+7x}{2}=-\frac{5}{2}$$

2 ile bölme, 2 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=-\frac{5}{2}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{7}{2} sayısını 2 değerine bölerek \frac{7}{4} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{7}{4} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

\frac{7}{4} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{5}{2}+\frac{49}{16}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{5}{2} ile \frac{49}{16} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{9}{16}$$

Faktör x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{3}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{3}{4}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{7}{4} çıkarın.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$