2x^2+5x-3=0 Denklemini Çözme

$$2 x ^ { 2 } + 5 x - 3 = 0$$

x için çözün

$$x=-3$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 2x^{2}+ax+bx-3 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=5 ab=2\left(-3\right)=-6$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -6 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,6 -2,3$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+6=5 -2+3=1$$

Çözüm, 5 toplamını veren çifttir.

$$a=-1 b=6$$

2x^{2}+5x-3 ifadesini \left(2x^{2}-x\right)+\left(6x-3\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(2x^{2}-x\right)+\left(6x-3\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 3 x çarpanlarına ayırın.

$$x\left(2x-1\right)+3\left(2x-1\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 2x-1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(2x-1\right)\left(x+3\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 2x-1=0 ve x+3=0 çözün.

$$x=\frac{1}{2} x=-3$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$2x^{2}+5x-3=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 2, b yerine 5 ve c yerine -3 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

5 sayısının karesi.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

-4 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

-8 ile -3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+24}}{2\times 2}$$

24 ile 25 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-5±\sqrt{49}}{2\times 2}$$

49 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-5±7}{2\times 2}$$

2 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-5±7}{4}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-5±7}{4} denklemini çözün. 7 ile -5 sayısını toplayın.

$$x=\frac{2}{4}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{2}{4} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{1}{2}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-5±7}{4} denklemini çözün. 7 sayısını -5 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{12}{4}$$

-12 sayısını 4 ile bölün.

$$x=-3$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{1}{2} x=-3$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$2x^{2}+5x-3=0$$

Denklemin her iki tarafına 3 ekleyin.

$$2x^{2}+5x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

-3 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$2x^{2}+5x=-\left(-3\right)$$

-3 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$2x^{2}+5x=3$$

Her iki tarafı 2 ile bölün.

$$\frac{2x^{2}+5x}{2}=\frac{3}{2}$$

2 ile bölme, 2 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{3}{2}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{5}{2} sayısını 2 değerine bölerek \frac{5}{4} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{5}{4} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{3}{2}+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

\frac{5}{4} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{3}{2}+\frac{25}{16}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{3}{2} ile \frac{25}{16} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{49}{16}$$

Faktör x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{5}{4}=\frac{7}{4} x+\frac{5}{4}=-\frac{7}{4}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{5}{4} çıkarın.

$$x=\frac{1}{2} x=-3$$