2x^2+5x-12=0 Denklemini Çözme

$$2 x ^ { 2 } + 5 x - 12 = 0$$

x için çözün

$$x=-4$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 2x^{2}+ax+bx-12 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=5 ab=2\left(-12\right)=-24$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -24 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Çözüm, 5 toplamını veren çifttir.

$$a=-3 b=8$$

2x^{2}+5x-12 ifadesini \left(2x^{2}-3x\right)+\left(8x-12\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(2x^{2}-3x\right)+\left(8x-12\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 4 x çarpanlarına ayırın.

$$x\left(2x-3\right)+4\left(2x-3\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 2x-3 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(2x-3\right)\left(x+4\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 2x-3=0 ve x+4=0 çözün.

$$x=\frac{3}{2} x=-4$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$2x^{2}+5x-12=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 2, b yerine 5 ve c yerine -12 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-12\right)}}{2\times 2}$$

5 sayısının karesi.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-12\right)}}{2\times 2}$$

-4 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-12\right)}}{2\times 2}$$

-8 ile -12 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+96}}{2\times 2}$$

96 ile 25 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-5±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

121 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-5±11}{2\times 2}$$

2 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-5±11}{4}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-5±11}{4} denklemini çözün. 11 ile -5 sayısını toplayın.

$$x=\frac{6}{4}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{6}{4} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{3}{2}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-5±11}{4} denklemini çözün. 11 sayısını -5 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{16}{4}$$

-16 sayısını 4 ile bölün.

$$x=-4$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{3}{2} x=-4$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$2x^{2}+5x-12=0$$

Denklemin her iki tarafına 12 ekleyin.

$$2x^{2}+5x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

-12 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$2x^{2}+5x=-\left(-12\right)$$

-12 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$2x^{2}+5x=12$$

Her iki tarafı 2 ile bölün.

$$\frac{2x^{2}+5x}{2}=\frac{12}{2}$$

2 ile bölme, 2 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{12}{2}$$

12 sayısını 2 ile bölün.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=6$$

x teriminin katsayısı olan \frac{5}{2} sayısını 2 değerine bölerek \frac{5}{4} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{5}{4} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=6+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

\frac{5}{4} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=6+\frac{25}{16}$$

\frac{25}{16} ile 6 sayısını toplayın.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{121}{16}$$

Faktör x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{5}{4}=\frac{11}{4} x+\frac{5}{4}=-\frac{11}{4}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{5}{4} çıkarın.

$$x=\frac{3}{2} x=-4$$