2x^2+3x-90=0 Denklemini Çözme

$$2 x ^ { 2 } + 3 x - 90 = 0$$

x için çözün

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7,5$$

$$x=6$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 2x^{2}+ax+bx-90 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=3 ab=2\left(-90\right)=-180$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -180 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

Çözüm, 3 toplamını veren çifttir.

$$a=-12 b=15$$

2x^{2}+3x-90 ifadesini \left(2x^{2}-12x\right)+\left(15x-90\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(2x^{2}-12x\right)+\left(15x-90\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 15 2x çarpanlarına ayırın.

$$2x\left(x-6\right)+15\left(x-6\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-6 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-6\right)\left(2x+15\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-6=0 ve 2x+15=0 çözün.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$2x^{2}+3x-90=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 2, b yerine 3 ve c yerine -90 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

3 sayısının karesi.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

-4 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

-8 ile -90 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+720}}{2\times 2}$$

720 ile 9 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-3±\sqrt{729}}{2\times 2}$$

729 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-3±27}{2\times 2}$$

2 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-3±27}{4}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-3±27}{4} denklemini çözün. 27 ile -3 sayısını toplayın.

$$x=\frac{24}{4}$$

24 sayısını 4 ile bölün.

$$x=6$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-3±27}{4} denklemini çözün. 27 sayısını -3 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{30}{4}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-30}{4} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{15}{2}$$

Denklem çözüldü.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$2x^{2}+3x-90=0$$

Denklemin her iki tarafına 90 ekleyin.

$$2x^{2}+3x-90-\left(-90\right)=-\left(-90\right)$$

-90 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$2x^{2}+3x=-\left(-90\right)$$

-90 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$2x^{2}+3x=90$$

Her iki tarafı 2 ile bölün.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{90}{2}$$

2 ile bölme, 2 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{90}{2}$$

90 sayısını 2 ile bölün.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=45$$

x teriminin katsayısı olan \frac{3}{2} sayısını 2 değerine bölerek \frac{3}{4} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{3}{4} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=45+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

\frac{3}{4} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=45+\frac{9}{16}$$

\frac{9}{16} ile 45 sayısını toplayın.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{729}{16}$$

Faktör x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{729}{16}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{16}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{27}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{27}{4}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{3}{4} çıkarın.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$