2x^2+3x-20=0 Denklemini Çözme

$$2 x ^ { 2 } + 3 x - 20 = 0$$

x için çözün

$$x=-4$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 2x^{2}+ax+bx-20 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=3 ab=2\left(-20\right)=-40$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -40 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,40 -2,20 -4,10 -5,8$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+40=39 -2+20=18 -4+10=6 -5+8=3$$

Çözüm, 3 toplamını veren çifttir.

$$a=-5 b=8$$

2x^{2}+3x-20 ifadesini \left(2x^{2}-5x\right)+\left(8x-20\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(2x^{2}-5x\right)+\left(8x-20\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 4 x çarpanlarına ayırın.

$$x\left(2x-5\right)+4\left(2x-5\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 2x-5 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(2x-5\right)\left(x+4\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 2x-5=0 ve x+4=0 çözün.

$$x=\frac{5}{2} x=-4$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$2x^{2}+3x-20=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 2, b yerine 3 ve c yerine -20 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-20\right)}}{2\times 2}$$

3 sayısının karesi.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-20\right)}}{2\times 2}$$

-4 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-20\right)}}{2\times 2}$$

-8 ile -20 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+160}}{2\times 2}$$

160 ile 9 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-3±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

169 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-3±13}{2\times 2}$$

2 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-3±13}{4}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-3±13}{4} denklemini çözün. 13 ile -3 sayısını toplayın.

$$x=\frac{10}{4}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{10}{4} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{5}{2}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-3±13}{4} denklemini çözün. 13 sayısını -3 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{16}{4}$$

-16 sayısını 4 ile bölün.

$$x=-4$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{5}{2} x=-4$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$2x^{2}+3x-20=0$$

Denklemin her iki tarafına 20 ekleyin.

$$2x^{2}+3x-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

-20 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$2x^{2}+3x=-\left(-20\right)$$

-20 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$2x^{2}+3x=20$$

Her iki tarafı 2 ile bölün.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{20}{2}$$

2 ile bölme, 2 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{20}{2}$$

20 sayısını 2 ile bölün.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=10$$

x teriminin katsayısı olan \frac{3}{2} sayısını 2 değerine bölerek \frac{3}{4} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{3}{4} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=10+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

\frac{3}{4} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=10+\frac{9}{16}$$

\frac{9}{16} ile 10 sayısını toplayın.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{169}{16}$$

Faktör x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{13}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{13}{4}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{3}{4} çıkarın.

$$x=\frac{5}{2} x=-4$$