2x^2+3x-12=-7 Denklemini Çözme

$$2 x ^ { 2 } + 3 x - 12 = - 7$$

x için çözün

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=1$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki tarafa 7 ekleyin.

$$2x^{2}+3x-12+7=0$$

-12 ve 7 sayılarını toplayarak -5 sonucunu bulun.

$$2x^{2}+3x-5=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 2x^{2}+ax+bx-5 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=3 ab=2\left(-5\right)=-10$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -10 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,10 -2,5$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Çözüm, 3 toplamını veren çifttir.

$$a=-2 b=5$$

2x^{2}+3x-5 ifadesini \left(2x^{2}-2x\right)+\left(5x-5\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(2x^{2}-2x\right)+\left(5x-5\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 5 2x çarpanlarına ayırın.

$$2x\left(x-1\right)+5\left(x-1\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-1\right)\left(2x+5\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-1=0 ve 2x+5=0 çözün.

$$x=1 x=-\frac{5}{2}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$2x^{2}+3x-12=-7$$

Denklemin her iki tarafına 7 ekleyin.

$$2x^{2}+3x-12-\left(-7\right)=-7-\left(-7\right)$$

-7 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$2x^{2}+3x-12-\left(-7\right)=0$$

-7 sayısını -12 sayısından çıkarın.

$$2x^{2}+3x-5=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 2, b yerine 3 ve c yerine -5 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

3 sayısının karesi.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

-4 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

-8 ile -5 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+40}}{2\times 2}$$

40 ile 9 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-3±\sqrt{49}}{2\times 2}$$

49 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-3±7}{2\times 2}$$

2 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-3±7}{4}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-3±7}{4} denklemini çözün. 7 ile -3 sayısını toplayın.

$$x=\frac{4}{4}$$

4 sayısını 4 ile bölün.

$$x=1$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-3±7}{4} denklemini çözün. 7 sayısını -3 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{10}{4}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-10}{4} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Denklem çözüldü.

$$x=1 x=-\frac{5}{2}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$2x^{2}+3x-12=-7$$

Denklemin her iki tarafına 12 ekleyin.

$$2x^{2}+3x-12-\left(-12\right)=-7-\left(-12\right)$$

-12 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$2x^{2}+3x=-7-\left(-12\right)$$

-12 sayısını -7 sayısından çıkarın.

$$2x^{2}+3x=5$$

Her iki tarafı 2 ile bölün.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{5}{2}$$

2 ile bölme, 2 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{5}{2}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{3}{2} sayısını 2 değerine bölerek \frac{3}{4} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{3}{4} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

\frac{3}{4} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{5}{2}+\frac{9}{16}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{5}{2} ile \frac{9}{16} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{49}{16}$$

Faktör x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{7}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{7}{4}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{3}{4} çıkarın.

$$x=1 x=-\frac{5}{2}$$