2x^2+2x+1=0 Denklemini Çözme

$$2 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0$$

x için çözün (complex solution)

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i=-0,5+0,5i$$

$$x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i=-0,5-0,5i$$

Karesel Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, karesel formül kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Karesel formül, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$2x^{2}+2x+1=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden formülünde a yerine 2, b yerine 2 ve c yerine 1 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2}}{2\times 2}$$

2 sayısının karesi.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2}}{2\times 2}$$

-4 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-8}}{2\times 2}$$

-8 ile 4 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-4}}{2\times 2}$$

-4 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-2±2i}{2\times 2}$$

2 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-2±2i}{4}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-2±2i}{4} denklemini çözün. 2i ile -2 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-2+2i}{4}$$

-2+2i sayısını 4 ile bölün.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-2±2i}{4} denklemini çözün. 2i sayısını -2 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{-2-2i}{4}$$

-2-2i sayısını 4 ile bölün.

$$x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$

Denklem çözüldü.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$2x^{2}+2x+1=0$$

Denklemin her iki tarafından 1 çıkarın.

$$2x^{2}+2x+1-1=-1$$

1 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$2x^{2}+2x=-1$$

Her iki tarafı 2 ile bölün.

$$\frac{2x^{2}+2x}{2}=-\frac{1}{2}$$

2 ile bölme, 2 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{2}{2}x=-\frac{1}{2}$$

2 sayısını 2 ile bölün.

$$x^{2}+x=-\frac{1}{2}$$

x teriminin katsayısı olan 1 sayısını 2 değerine bölerek \frac{1}{2} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{1}{2} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

\frac{1}{2} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{1}{2} ile \frac{1}{4} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}$$

x^{2}+x+\frac{1}{4} ifadesini çarpanlarına ayırın. Genellikle x^{2}+bx+c tam kare olduğunda her zaman \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} şeklinde çarpanlara ayrılabilir.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{4}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}i x+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}i$$

Denklemin her iki tarafından \frac{1}{2} çıkarın.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$