2x^2+17x+21=0 Denklemini Çözme

$$2 x ^ { 2 } + 17 x + 21 = 0$$

x için çözün

$$x=-7$$

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 2x^{2}+ax+bx+21 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=17 ab=2\times 21=42$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b pozitif olduğundan a ve b her ikisi de pozitif. Çarpımı 42 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,42 2,21 3,14 6,7$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1+42=43 2+21=23 3+14=17 6+7=13$$

Çözüm, 17 toplamını veren çifttir.

$$a=3 b=14$$

2x^{2}+17x+21 ifadesini \left(2x^{2}+3x\right)+\left(14x+21\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(2x^{2}+3x\right)+\left(14x+21\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 7 x çarpanlarına ayırın.

$$x\left(2x+3\right)+7\left(2x+3\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 2x+3 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(2x+3\right)\left(x+7\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 2x+3=0 ve x+7=0 çözün.

$$x=-\frac{3}{2} x=-7$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$2x^{2}+17x+21=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 2, b yerine 17 ve c yerine 21 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 2\times 21}}{2\times 2}$$

17 sayısının karesi.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 2\times 21}}{2\times 2}$$

-4 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-8\times 21}}{2\times 2}$$

-8 ile 21 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-168}}{2\times 2}$$

-168 ile 289 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-17±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

121 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-17±11}{2\times 2}$$

2 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-17±11}{4}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-17±11}{4} denklemini çözün. 11 ile -17 sayısını toplayın.

$$x=-\frac{6}{4}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-6}{4} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-17±11}{4} denklemini çözün. 11 sayısını -17 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{28}{4}$$

-28 sayısını 4 ile bölün.

$$x=-7$$

Denklem çözüldü.

$$x=-\frac{3}{2} x=-7$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$2x^{2}+17x+21=0$$

Denklemin her iki tarafından 21 çıkarın.

$$2x^{2}+17x+21-21=-21$$

21 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$2x^{2}+17x=-21$$

Her iki tarafı 2 ile bölün.

$$\frac{2x^{2}+17x}{2}=-\frac{21}{2}$$

2 ile bölme, 2 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{17}{2}x=-\frac{21}{2}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{17}{2} sayısını 2 değerine bölerek \frac{17}{4} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{17}{4} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{17}{2}x+\left(\frac{17}{4}\right)^{2}=-\frac{21}{2}+\left(\frac{17}{4}\right)^{2}$$

\frac{17}{4} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}=-\frac{21}{2}+\frac{289}{16}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{21}{2} ile \frac{289}{16} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}=\frac{121}{16}$$

Faktör x^{2}+\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{17}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{17}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{17}{4}=\frac{11}{4} x+\frac{17}{4}=-\frac{11}{4}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{17}{4} çıkarın.

$$x=-\frac{3}{2} x=-7$$