2x^2+14x-4=-x^2+3x Denklemini Çözme

$$2 x ^ { 2 } + 14 x - 4 = - x ^ { 2 } + 3 x$$

x için çözün

$$x=-4$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki tarafa x^{2} ekleyin.

$$2x^{2}+14x-4+x^{2}=3x$$

2x^{2} ve x^{2} terimlerini birleştirerek 3x^{2} sonucunu elde edin.

$$3x^{2}+14x-4=3x$$

Her iki taraftan 3x sayısını çıkarın.

$$3x^{2}+14x-4-3x=0$$

14x ve -3x terimlerini birleştirerek 11x sonucunu elde edin.

$$3x^{2}+11x-4=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 3x^{2}+ax+bx-4 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=11 ab=3\left(-4\right)=-12$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -12 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

Çözüm, 11 toplamını veren çifttir.

$$a=-1 b=12$$

3x^{2}+11x-4 ifadesini \left(3x^{2}-x\right)+\left(12x-4\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(3x^{2}-x\right)+\left(12x-4\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 4 x çarpanlarına ayırın.

$$x\left(3x-1\right)+4\left(3x-1\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 3x-1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(3x-1\right)\left(x+4\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 3x-1=0 ve x+4=0 çözün.

$$x=\frac{1}{3} x=-4$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

Her iki tarafa x^{2} ekleyin.

$$2x^{2}+14x-4+x^{2}=3x$$

2x^{2} ve x^{2} terimlerini birleştirerek 3x^{2} sonucunu elde edin.

$$3x^{2}+14x-4=3x$$

Her iki taraftan 3x sayısını çıkarın.

$$3x^{2}+14x-4-3x=0$$

14x ve -3x terimlerini birleştirerek 11x sonucunu elde edin.

$$3x^{2}+11x-4=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 3, b yerine 11 ve c yerine -4 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

11 sayısının karesi.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

-4 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-12\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

-12 ile -4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\times 3}$$

48 ile 121 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

169 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-11±13}{2\times 3}$$

2 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-11±13}{6}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-11±13}{6} denklemini çözün. 13 ile -11 sayısını toplayın.

$$x=\frac{2}{6}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{2}{6} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{1}{3}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-11±13}{6} denklemini çözün. 13 sayısını -11 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{24}{6}$$

-24 sayısını 6 ile bölün.

$$x=-4$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{1}{3} x=-4$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Her iki tarafa x^{2} ekleyin.

$$2x^{2}+14x-4+x^{2}=3x$$

2x^{2} ve x^{2} terimlerini birleştirerek 3x^{2} sonucunu elde edin.

$$3x^{2}+14x-4=3x$$

Her iki taraftan 3x sayısını çıkarın.

$$3x^{2}+14x-4-3x=0$$

14x ve -3x terimlerini birleştirerek 11x sonucunu elde edin.

$$3x^{2}+11x-4=0$$

Her iki tarafa 4 ekleyin. Bir sayı sıfırla toplanırsa sonuç o sayıya eşit olur.

$$3x^{2}+11x=4$$

Her iki tarafı 3 ile bölün.

$$\frac{3x^{2}+11x}{3}=\frac{4}{3}$$

3 ile bölme, 3 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x=\frac{4}{3}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{11}{3} sayısını 2 değerine bölerek \frac{11}{6} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{11}{6} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}$$

\frac{11}{6} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=\frac{4}{3}+\frac{121}{36}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{4}{3} ile \frac{121}{36} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=\frac{169}{36}$$

Faktör x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{11}{6}=\frac{13}{6} x+\frac{11}{6}=-\frac{13}{6}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{11}{6} çıkarın.

$$x=\frac{1}{3} x=-4$$