2r^2+5r+2=0 Denklemini Çözme

$$2 r ^ { 2 } + 5 r + 2 = 0$$

r için çözün

$$r=-2$$

$$r=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 2r^{2}+ar+br+2 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=5 ab=2\times 2=4$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b pozitif olduğundan a ve b her ikisi de pozitif. Çarpımı 4 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,4 2,2$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1+4=5 2+2=4$$

Çözüm, 5 toplamını veren çifttir.

$$a=1 b=4$$

2r^{2}+5r+2 ifadesini \left(2r^{2}+r\right)+\left(4r+2\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(2r^{2}+r\right)+\left(4r+2\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 2 r çarpanlarına ayırın.

$$r\left(2r+1\right)+2\left(2r+1\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 2r+1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(2r+1\right)\left(r+2\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 2r+1=0 ve r+2=0 çözün.

$$r=-\frac{1}{2} r=-2$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$2r^{2}+5r+2=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 2, b yerine 5 ve c yerine 2 değerini koyarak çözün.

$$r=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\times 2}}{2\times 2}$$

5 sayısının karesi.

$$r=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\times 2}}{2\times 2}$$

-4 ile 2 sayısını çarpın.

$$r=\frac{-5±\sqrt{25-8\times 2}}{2\times 2}$$

-8 ile 2 sayısını çarpın.

$$r=\frac{-5±\sqrt{25-16}}{2\times 2}$$

-16 ile 25 sayısını toplayın.

$$r=\frac{-5±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

9 sayısının karekökünü alın.

$$r=\frac{-5±3}{2\times 2}$$

2 ile 2 sayısını çarpın.

$$r=\frac{-5±3}{4}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak r=\frac{-5±3}{4} denklemini çözün. 3 ile -5 sayısını toplayın.

$$r=-\frac{2}{4}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-2}{4} kesrini sadeleştirin.

$$r=-\frac{1}{2}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak r=\frac{-5±3}{4} denklemini çözün. 3 sayısını -5 sayısından çıkarın.

$$r=-\frac{8}{4}$$

-8 sayısını 4 ile bölün.

$$r=-2$$

Denklem çözüldü.

$$r=-\frac{1}{2} r=-2$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$2r^{2}+5r+2=0$$

Denklemin her iki tarafından 2 çıkarın.

$$2r^{2}+5r+2-2=-2$$

2 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$2r^{2}+5r=-2$$

Her iki tarafı 2 ile bölün.

$$\frac{2r^{2}+5r}{2}=-\frac{2}{2}$$

2 ile bölme, 2 ile çarpma işlemini geri alır.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r=-\frac{2}{2}$$

-2 sayısını 2 ile bölün.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r=-1$$

x teriminin katsayısı olan \frac{5}{2} sayısını 2 değerine bölerek \frac{5}{4} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{5}{4} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=-1+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

\frac{5}{4} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r+\frac{25}{16}=-1+\frac{25}{16}$$

\frac{25}{16} ile -1 sayısını toplayın.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r+\frac{25}{16}=\frac{9}{16}$$

Faktör r^{2}+\frac{5}{2}r+\frac{25}{16}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(r+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Sadeleştirin.

$$r+\frac{5}{4}=\frac{3}{4} r+\frac{5}{4}=-\frac{3}{4}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{5}{4} çıkarın.

$$r=-\frac{1}{2} r=-2$$