2k^2+9k=-7 Denklemini Çözme

$$2 k ^ { 2 } + 9 k = - 7$$

k için çözün

$$k = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

$$k=-1$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki tarafa 7 ekleyin.

$$2k^{2}+9k+7=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 2k^{2}+ak+bk+7 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=9 ab=2\times 7=14$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b pozitif olduğundan a ve b her ikisi de pozitif. Çarpımı 14 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,14 2,7$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1+14=15 2+7=9$$

Çözüm, 9 toplamını veren çifttir.

$$a=2 b=7$$

2k^{2}+9k+7 ifadesini \left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right)$$

İlk grubu 2k, ikinci grubu 7 ortak çarpan parantezine alın.

$$2k\left(k+1\right)+7\left(k+1\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak k+1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(k+1\right)\left(2k+7\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için k+1=0 ve 2k+7=0 çözün.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

Karesel Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, karesel formül kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Karesel formül, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$2k^{2}+9k=-7$$

Denklemin her iki tarafına 7 ekleyin.

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=-7-\left(-7\right)$$

-7 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=0$$

-7 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$2k^{2}+9k+7=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden formülünde a yerine 2, b yerine 9 ve c yerine 7 değerini koyarak çözün.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

9 sayısının karesi.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

-4 ile 2 sayısını çarpın.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-8\times 7}}{2\times 2}$$

-8 ile 7 sayısını çarpın.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-56}}{2\times 2}$$

-56 ile 81 sayısını toplayın.

$$k=\frac{-9±\sqrt{25}}{2\times 2}$$

25 sayısının karekökünü alın.

$$k=\frac{-9±5}{2\times 2}$$

2 ile 2 sayısını çarpın.

$$k=\frac{-9±5}{4}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak k=\frac{-9±5}{4} denklemini çözün. 5 ile -9 sayısını toplayın.

$$k=-\frac{4}{4}$$

-4 sayısını 4 ile bölün.

$$k=-1$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak k=\frac{-9±5}{4} denklemini çözün. 5 sayısını -9 sayısından çıkarın.

$$k=-\frac{14}{4}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-14}{4} kesrini sadeleştirin.

$$k=-\frac{7}{2}$$

Denklem çözüldü.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$2k^{2}+9k=-7$$

Her iki tarafı 2 ile bölün.

$$\frac{2k^{2}+9k}{2}=-\frac{7}{2}$$

2 ile bölme, 2 ile çarpma işlemini geri alır.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k=-\frac{7}{2}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{9}{2} sayısını 2 değerine bölerek \frac{9}{4} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{9}{4} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}$$

\frac{9}{4} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=-\frac{7}{2}+\frac{81}{16}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{7}{2} ile \frac{81}{16} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=\frac{25}{16}$$

k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16} ifadesini çarpanlarına ayırın. Genellikle x^{2}+bx+c tam kare olduğunda her zaman \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} şeklinde çarpanlara ayrılabilir.

$$\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

Sadeleştirin.

$$k+\frac{9}{4}=\frac{5}{4} k+\frac{9}{4}=-\frac{5}{4}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{9}{4} çıkarın.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$