2(x+2)^2=5(3-x) Denklemini Çözme

$$2 ( x + 2 ) ^ { 2 } = 5 ( 3 - x )$$

x için çözün

$$x=-7$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

\left(x+2\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$2\left(x^{2}+4x+4\right)=5\left(3-x\right)$$

2 sayısını x^{2}+4x+4 ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$2x^{2}+8x+8=5\left(3-x\right)$$

5 sayısını 3-x ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$2x^{2}+8x+8=15-5x$$

Her iki taraftan 15 sayısını çıkarın.

$$2x^{2}+8x+8-15=-5x$$

8 sayısından 15 sayısını çıkarıp -7 sonucunu bulun.

$$2x^{2}+8x-7=-5x$$

Her iki tarafa 5x ekleyin.

$$2x^{2}+8x-7+5x=0$$

8x ve 5x terimlerini birleştirerek 13x sonucunu elde edin.

$$2x^{2}+13x-7=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 2x^{2}+ax+bx-7 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=13 ab=2\left(-7\right)=-14$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -14 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,14 -2,7$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+14=13 -2+7=5$$

Çözüm, 13 toplamını veren çifttir.

$$a=-1 b=14$$

2x^{2}+13x-7 ifadesini \left(2x^{2}-x\right)+\left(14x-7\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(2x^{2}-x\right)+\left(14x-7\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 7 x çarpanlarına ayırın.

$$x\left(2x-1\right)+7\left(2x-1\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 2x-1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(2x-1\right)\left(x+7\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 2x-1=0 ve x+7=0 çözün.

$$x=\frac{1}{2} x=-7$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

\left(x+2\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$2\left(x^{2}+4x+4\right)=5\left(3-x\right)$$

2 sayısını x^{2}+4x+4 ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$2x^{2}+8x+8=5\left(3-x\right)$$

5 sayısını 3-x ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$2x^{2}+8x+8=15-5x$$

Her iki taraftan 15 sayısını çıkarın.

$$2x^{2}+8x+8-15=-5x$$

8 sayısından 15 sayısını çıkarıp -7 sonucunu bulun.

$$2x^{2}+8x-7=-5x$$

Her iki tarafa 5x ekleyin.

$$2x^{2}+8x-7+5x=0$$

8x ve 5x terimlerini birleştirerek 13x sonucunu elde edin.

$$2x^{2}+13x-7=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 2, b yerine 13 ve c yerine -7 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

13 sayısının karesi.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

-4 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-8\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

-8 ile -7 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+56}}{2\times 2}$$

56 ile 169 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-13±\sqrt{225}}{2\times 2}$$

225 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-13±15}{2\times 2}$$

2 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-13±15}{4}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-13±15}{4} denklemini çözün. 15 ile -13 sayısını toplayın.

$$x=\frac{2}{4}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{2}{4} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{1}{2}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-13±15}{4} denklemini çözün. 15 sayısını -13 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{28}{4}$$

-28 sayısını 4 ile bölün.

$$x=-7$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{1}{2} x=-7$$

Kareyi Tamamlama Adımları

\left(x+2\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$2\left(x^{2}+4x+4\right)=5\left(3-x\right)$$

2 sayısını x^{2}+4x+4 ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$2x^{2}+8x+8=5\left(3-x\right)$$

5 sayısını 3-x ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$2x^{2}+8x+8=15-5x$$

Her iki tarafa 5x ekleyin.

$$2x^{2}+8x+8+5x=15$$

8x ve 5x terimlerini birleştirerek 13x sonucunu elde edin.

$$2x^{2}+13x+8=15$$

Her iki taraftan 8 sayısını çıkarın.

$$2x^{2}+13x=15-8$$

15 sayısından 8 sayısını çıkarıp 7 sonucunu bulun.

$$2x^{2}+13x=7$$

Her iki tarafı 2 ile bölün.

$$\frac{2x^{2}+13x}{2}=\frac{7}{2}$$

2 ile bölme, 2 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x=\frac{7}{2}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{13}{2} sayısını 2 değerine bölerek \frac{13}{4} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{13}{4} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x+\left(\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{7}{2}+\left(\frac{13}{4}\right)^{2}$$

\frac{13}{4} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{7}{2}+\frac{169}{16}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{7}{2} ile \frac{169}{16} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{225}{16}$$

Faktör x^{2}+\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{225}{16}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{16}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{13}{4}=\frac{15}{4} x+\frac{13}{4}=-\frac{15}{4}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{13}{4} çıkarın.

$$x=\frac{1}{2} x=-7$$