2x^2-7x+5=0 Denklemini Çözme

$$2 { x }^{ 2 } -7x+5=0$$

x için çözün

$$x=1$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 2x^{2}+ax+bx+5 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-7 ab=2\times 5=10$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b negatif olduğundan a ve b her ikisi de negatiftir. Çarpımı 10 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,-10 -2,-5$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1-10=-11 -2-5=-7$$

Çözüm, -7 toplamını veren çifttir.

$$a=-5 b=-2$$

2x^{2}-7x+5 ifadesini \left(2x^{2}-5x\right)+\left(-2x+5\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(2x^{2}-5x\right)+\left(-2x+5\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve -1 x çarpanlarına ayırın.

$$x\left(2x-5\right)-\left(2x-5\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 2x-5 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(2x-5\right)\left(x-1\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 2x-5=0 ve x-1=0 çözün.

$$x=\frac{5}{2} x=1$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$2x^{2}-7x+5=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 2, b yerine -7 ve c yerine 5 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

-7 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

-4 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-8\times 5}}{2\times 2}$$

-8 ile 5 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-40}}{2\times 2}$$

-40 ile 49 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

9 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±3}{2\times 2}$$

-7 sayısının tersi: 7.

$$x=\frac{7±3}{2\times 2}$$

2 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{7±3}{4}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{7±3}{4} denklemini çözün. 3 ile 7 sayısını toplayın.

$$x=\frac{10}{4}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{10}{4} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{5}{2}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{7±3}{4} denklemini çözün. 3 sayısını 7 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{4}{4}$$

4 sayısını 4 ile bölün.

$$x=1$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{5}{2} x=1$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$2x^{2}-7x+5=0$$

Denklemin her iki tarafından 5 çıkarın.

$$2x^{2}-7x+5-5=-5$$

5 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$2x^{2}-7x=-5$$

Her iki tarafı 2 ile bölün.

$$\frac{2x^{2}-7x}{2}=-\frac{5}{2}$$

2 ile bölme, 2 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=-\frac{5}{2}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{7}{2} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{7}{4} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{7}{4} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

-\frac{7}{4} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{5}{2}+\frac{49}{16}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{5}{2} ile \frac{49}{16} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{9}{16}$$

Faktör x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{7}{4}=\frac{3}{4} x-\frac{7}{4}=-\frac{3}{4}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{7}{4} ekleyin.

$$x=\frac{5}{2} x=1$$