2x^2-5x-42=0 Denklemini Çözme

$$2 { x }^{ 2 } -5x-42=0$$

x için çözün

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$x=6$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 2x^{2}+ax+bx-42 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-5 ab=2\left(-42\right)=-84$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -84 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-84 2,-42 3,-28 4,-21 6,-14 7,-12$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-84=-83 2-42=-40 3-28=-25 4-21=-17 6-14=-8 7-12=-5$$

Çözüm, -5 toplamını veren çifttir.

$$a=-12 b=7$$

2x^{2}-5x-42 ifadesini \left(2x^{2}-12x\right)+\left(7x-42\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(2x^{2}-12x\right)+\left(7x-42\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 7 2x çarpanlarına ayırın.

$$2x\left(x-6\right)+7\left(x-6\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-6 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-6\right)\left(2x+7\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-6=0 ve 2x+7=0 çözün.

$$x=6 x=-\frac{7}{2}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$2x^{2}-5x-42=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 2, b yerine -5 ve c yerine -42 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 2\left(-42\right)}}{2\times 2}$$

-5 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 2\left(-42\right)}}{2\times 2}$$

-4 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-8\left(-42\right)}}{2\times 2}$$

-8 ile -42 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+336}}{2\times 2}$$

336 ile 25 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{361}}{2\times 2}$$

361 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±19}{2\times 2}$$

-5 sayısının tersi: 5.

$$x=\frac{5±19}{2\times 2}$$

2 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{5±19}{4}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{5±19}{4} denklemini çözün. 19 ile 5 sayısını toplayın.

$$x=\frac{24}{4}$$

24 sayısını 4 ile bölün.

$$x=6$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{5±19}{4} denklemini çözün. 19 sayısını 5 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{14}{4}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-14}{4} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{7}{2}$$

Denklem çözüldü.

$$x=6 x=-\frac{7}{2}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$2x^{2}-5x-42=0$$

Denklemin her iki tarafına 42 ekleyin.

$$2x^{2}-5x-42-\left(-42\right)=-\left(-42\right)$$

-42 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$2x^{2}-5x=-\left(-42\right)$$

-42 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$2x^{2}-5x=42$$

Her iki tarafı 2 ile bölün.

$$\frac{2x^{2}-5x}{2}=\frac{42}{2}$$

2 ile bölme, 2 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=\frac{42}{2}$$

42 sayısını 2 ile bölün.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=21$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{5}{2} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{5}{4} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{5}{4} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=21+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

-\frac{5}{4} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=21+\frac{25}{16}$$

\frac{25}{16} ile 21 sayısını toplayın.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{361}{16}$$

Faktör x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{361}{16}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{16}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{19}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{19}{4}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{5}{4} ekleyin.

$$x=6 x=-\frac{7}{2}$$