2x^2-5x-18=0 Denklemini Çözme

$$2 { x }^{ 2 } -5x-18 = 0$$

x için çözün

$$x=-2$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4,5$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 2x^{2}+ax+bx-18 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-5 ab=2\left(-18\right)=-36$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -36 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

Çözüm, -5 toplamını veren çifttir.

$$a=-9 b=4$$

2x^{2}-5x-18 ifadesini \left(2x^{2}-9x\right)+\left(4x-18\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(2x^{2}-9x\right)+\left(4x-18\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 2 x çarpanlarına ayırın.

$$x\left(2x-9\right)+2\left(2x-9\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 2x-9 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(2x-9\right)\left(x+2\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 2x-9=0 ve x+2=0 çözün.

$$x=\frac{9}{2} x=-2$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$2x^{2}-5x-18=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 2, b yerine -5 ve c yerine -18 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 2\left(-18\right)}}{2\times 2}$$

-5 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 2\left(-18\right)}}{2\times 2}$$

-4 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-8\left(-18\right)}}{2\times 2}$$

-8 ile -18 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+144}}{2\times 2}$$

144 ile 25 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

169 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±13}{2\times 2}$$

-5 sayısının tersi: 5.

$$x=\frac{5±13}{2\times 2}$$

2 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{5±13}{4}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{5±13}{4} denklemini çözün. 13 ile 5 sayısını toplayın.

$$x=\frac{18}{4}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{18}{4} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{9}{2}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{5±13}{4} denklemini çözün. 13 sayısını 5 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{8}{4}$$

-8 sayısını 4 ile bölün.

$$x=-2$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{9}{2} x=-2$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$2x^{2}-5x-18=0$$

Denklemin her iki tarafına 18 ekleyin.

$$2x^{2}-5x-18-\left(-18\right)=-\left(-18\right)$$

-18 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$2x^{2}-5x=-\left(-18\right)$$

-18 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$2x^{2}-5x=18$$

Her iki tarafı 2 ile bölün.

$$\frac{2x^{2}-5x}{2}=\frac{18}{2}$$

2 ile bölme, 2 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=\frac{18}{2}$$

18 sayısını 2 ile bölün.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=9$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{5}{2} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{5}{4} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{5}{4} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=9+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

-\frac{5}{4} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=9+\frac{25}{16}$$

\frac{25}{16} ile 9 sayısını toplayın.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{169}{16}$$

Faktör x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{13}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{13}{4}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{5}{4} ekleyin.

$$x=\frac{9}{2} x=-2$$