2x^2-11x-40=0 Denklemini Çözme

$$2 { x }^{ 2 } -11x-40=0$$

x için çözün

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=8$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 2x^{2}+ax+bx-40 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-11 ab=2\left(-40\right)=-80$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -80 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-80 2,-40 4,-20 5,-16 8,-10$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-80=-79 2-40=-38 4-20=-16 5-16=-11 8-10=-2$$

Çözüm, -11 toplamını veren çifttir.

$$a=-16 b=5$$

2x^{2}-11x-40 ifadesini \left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 5 2x çarpanlarına ayırın.

$$2x\left(x-8\right)+5\left(x-8\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-8 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-8\right)\left(2x+5\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-8=0 ve 2x+5=0 çözün.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 2, b yerine -11 ve c yerine -40 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

-11 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

-4 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-8\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

-8 ile -40 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+320}}{2\times 2}$$

320 ile 121 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{441}}{2\times 2}$$

441 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±21}{2\times 2}$$

-11 sayısının tersi: 11.

$$x=\frac{11±21}{2\times 2}$$

2 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{11±21}{4}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{11±21}{4} denklemini çözün. 21 ile 11 sayısını toplayın.

$$x=\frac{32}{4}$$

32 sayısını 4 ile bölün.

$$x=8$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{11±21}{4} denklemini çözün. 21 sayısını 11 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{10}{4}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-10}{4} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Denklem çözüldü.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

Denklemin her iki tarafına 40 ekleyin.

$$2x^{2}-11x-40-\left(-40\right)=-\left(-40\right)$$

-40 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$2x^{2}-11x=-\left(-40\right)$$

-40 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$2x^{2}-11x=40$$

Her iki tarafı 2 ile bölün.

$$\frac{2x^{2}-11x}{2}=\frac{40}{2}$$

2 ile bölme, 2 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=\frac{40}{2}$$

40 sayısını 2 ile bölün.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=20$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{11}{2} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{11}{4} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{11}{4} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=20+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

-\frac{11}{4} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=20+\frac{121}{16}$$

\frac{121}{16} ile 20 sayısını toplayın.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{441}{16}$$

Faktör x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{441}{16}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{16}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{21}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{21}{4}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{11}{4} ekleyin.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$