2x^2+x-6=30 Denklemini Çözme

$$2 { x }^{ 2 } +x-6=30$$

x için çözün

$$x = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4,5$$

$$x=4$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki taraftan 30 sayısını çıkarın.

$$2x^{2}+x-6-30=0$$

-6 sayısından 30 sayısını çıkarıp -36 sonucunu bulun.

$$2x^{2}+x-36=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 2x^{2}+ax+bx-36 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=1 ab=2\left(-36\right)=-72$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -72 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

Çözüm, 1 toplamını veren çifttir.

$$a=-8 b=9$$

2x^{2}+x-36 ifadesini \left(2x^{2}-8x\right)+\left(9x-36\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(2x^{2}-8x\right)+\left(9x-36\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 9 2x çarpanlarına ayırın.

$$2x\left(x-4\right)+9\left(x-4\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-4 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-4\right)\left(2x+9\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-4=0 ve 2x+9=0 çözün.

$$x=4 x=-\frac{9}{2}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$2x^{2}+x-6=30$$

Denklemin her iki tarafından 30 çıkarın.

$$2x^{2}+x-6-30=30-30$$

30 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$2x^{2}+x-6-30=0$$

30 sayısını -6 sayısından çıkarın.

$$2x^{2}+x-36=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 2, b yerine 1 ve c yerine -36 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

1 sayısının karesi.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

-4 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

-8 ile -36 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+288}}{2\times 2}$$

288 ile 1 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-1±\sqrt{289}}{2\times 2}$$

289 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-1±17}{2\times 2}$$

2 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-1±17}{4}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-1±17}{4} denklemini çözün. 17 ile -1 sayısını toplayın.

$$x=\frac{16}{4}$$

16 sayısını 4 ile bölün.

$$x=4$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-1±17}{4} denklemini çözün. 17 sayısını -1 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{18}{4}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-18}{4} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{9}{2}$$

Denklem çözüldü.

$$x=4 x=-\frac{9}{2}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$2x^{2}+x-6=30$$

Denklemin her iki tarafına 6 ekleyin.

$$2x^{2}+x-6-\left(-6\right)=30-\left(-6\right)$$

-6 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$2x^{2}+x=30-\left(-6\right)$$

-6 sayısını 30 sayısından çıkarın.

$$2x^{2}+x=36$$

Her iki tarafı 2 ile bölün.

$$\frac{2x^{2}+x}{2}=\frac{36}{2}$$

2 ile bölme, 2 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{36}{2}$$

36 sayısını 2 ile bölün.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=18$$

x teriminin katsayısı olan \frac{1}{2} sayısını 2 değerine bölerek \frac{1}{4} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{1}{4} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=18+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

\frac{1}{4} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=18+\frac{1}{16}$$

\frac{1}{16} ile 18 sayısını toplayın.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{289}{16}$$

Faktör x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{289}{16}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{16}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{17}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{17}{4}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{1}{4} çıkarın.

$$x=4 x=-\frac{9}{2}$$