2x^2+5x-817=0 Denklemini Çözme

$$2 { x }^{ 2 } +5x-817 = 0$$

x için çözün

$$x = -\frac{43}{2} = -21\frac{1}{2} = -21,5$$

$$x=19$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 2x^{2}+ax+bx-817 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=5 ab=2\left(-817\right)=-1634$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -1634 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,1634 -2,817 -19,86 -38,43$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+1634=1633 -2+817=815 -19+86=67 -38+43=5$$

Çözüm, 5 toplamını veren çifttir.

$$a=-38 b=43$$

2x^{2}+5x-817 ifadesini \left(2x^{2}-38x\right)+\left(43x-817\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(2x^{2}-38x\right)+\left(43x-817\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 43 2x çarpanlarına ayırın.

$$2x\left(x-19\right)+43\left(x-19\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-19 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-19\right)\left(2x+43\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-19=0 ve 2x+43=0 çözün.

$$x=19 x=-\frac{43}{2}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$2x^{2}+5x-817=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 2, b yerine 5 ve c yerine -817 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-817\right)}}{2\times 2}$$

5 sayısının karesi.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-817\right)}}{2\times 2}$$

-4 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-817\right)}}{2\times 2}$$

-8 ile -817 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+6536}}{2\times 2}$$

6536 ile 25 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-5±\sqrt{6561}}{2\times 2}$$

6561 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-5±81}{2\times 2}$$

2 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-5±81}{4}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-5±81}{4} denklemini çözün. 81 ile -5 sayısını toplayın.

$$x=\frac{76}{4}$$

76 sayısını 4 ile bölün.

$$x=19$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-5±81}{4} denklemini çözün. 81 sayısını -5 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{86}{4}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-86}{4} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{43}{2}$$

Denklem çözüldü.

$$x=19 x=-\frac{43}{2}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$2x^{2}+5x-817=0$$

Denklemin her iki tarafına 817 ekleyin.

$$2x^{2}+5x-817-\left(-817\right)=-\left(-817\right)$$

-817 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$2x^{2}+5x=-\left(-817\right)$$

-817 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$2x^{2}+5x=817$$

Her iki tarafı 2 ile bölün.

$$\frac{2x^{2}+5x}{2}=\frac{817}{2}$$

2 ile bölme, 2 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{817}{2}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{5}{2} sayısını 2 değerine bölerek \frac{5}{4} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{5}{4} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{817}{2}+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

\frac{5}{4} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{817}{2}+\frac{25}{16}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{817}{2} ile \frac{25}{16} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{6561}{16}$$

Faktör x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{6561}{16}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{6561}{16}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{5}{4}=\frac{81}{4} x+\frac{5}{4}=-\frac{81}{4}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{5}{4} çıkarın.

$$x=19 x=-\frac{43}{2}$$