2x^2+5x-168=0 Denklemini Çözme

$$2 { x }^{ 2 } +5x-168=0$$

x için çözün

$$x = -\frac{21}{2} = -10\frac{1}{2} = -10,5$$

$$x=8$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 2x^{2}+ax+bx-168 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=5 ab=2\left(-168\right)=-336$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -336 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,336 -2,168 -3,112 -4,84 -6,56 -7,48 -8,42 -12,28 -14,24 -16,21$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+336=335 -2+168=166 -3+112=109 -4+84=80 -6+56=50 -7+48=41 -8+42=34 -12+28=16 -14+24=10 -16+21=5$$

Çözüm, 5 toplamını veren çifttir.

$$a=-16 b=21$$

2x^{2}+5x-168 ifadesini \left(2x^{2}-16x\right)+\left(21x-168\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(2x^{2}-16x\right)+\left(21x-168\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 21 2x çarpanlarına ayırın.

$$2x\left(x-8\right)+21\left(x-8\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-8 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-8\right)\left(2x+21\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-8=0 ve 2x+21=0 çözün.

$$x=8 x=-\frac{21}{2}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$2x^{2}+5x-168=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 2, b yerine 5 ve c yerine -168 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-168\right)}}{2\times 2}$$

5 sayısının karesi.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-168\right)}}{2\times 2}$$

-4 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-168\right)}}{2\times 2}$$

-8 ile -168 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+1344}}{2\times 2}$$

1344 ile 25 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1369}}{2\times 2}$$

1369 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-5±37}{2\times 2}$$

2 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-5±37}{4}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-5±37}{4} denklemini çözün. 37 ile -5 sayısını toplayın.

$$x=\frac{32}{4}$$

32 sayısını 4 ile bölün.

$$x=8$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-5±37}{4} denklemini çözün. 37 sayısını -5 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{42}{4}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-42}{4} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{21}{2}$$

Denklem çözüldü.

$$x=8 x=-\frac{21}{2}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$2x^{2}+5x-168=0$$

Denklemin her iki tarafına 168 ekleyin.

$$2x^{2}+5x-168-\left(-168\right)=-\left(-168\right)$$

-168 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$2x^{2}+5x=-\left(-168\right)$$

-168 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$2x^{2}+5x=168$$

Her iki tarafı 2 ile bölün.

$$\frac{2x^{2}+5x}{2}=\frac{168}{2}$$

2 ile bölme, 2 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{168}{2}$$

168 sayısını 2 ile bölün.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=84$$

x teriminin katsayısı olan \frac{5}{2} sayısını 2 değerine bölerek \frac{5}{4} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{5}{4} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=84+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

\frac{5}{4} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=84+\frac{25}{16}$$

\frac{25}{16} ile 84 sayısını toplayın.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{1369}{16}$$

Faktör x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{1369}{16}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1369}{16}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{5}{4}=\frac{37}{4} x+\frac{5}{4}=-\frac{37}{4}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{5}{4} çıkarın.

$$x=8 x=-\frac{21}{2}$$