2x^2+3x-14=0 Denklemini Çözme

$$2 { x }^{ 2 } +3x-14=0$$

x için çözün

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$x=2$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 2x^{2}+ax+bx-14 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=3 ab=2\left(-14\right)=-28$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -28 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

Çözüm, 3 toplamını veren çifttir.

$$a=-4 b=7$$

2x^{2}+3x-14 ifadesini \left(2x^{2}-4x\right)+\left(7x-14\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(2x^{2}-4x\right)+\left(7x-14\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 7 2x çarpanlarına ayırın.

$$2x\left(x-2\right)+7\left(x-2\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-2 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-2\right)\left(2x+7\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-2=0 ve 2x+7=0 çözün.

$$x=2 x=-\frac{7}{2}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$2x^{2}+3x-14=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 2, b yerine 3 ve c yerine -14 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

3 sayısının karesi.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

-4 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

-8 ile -14 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+112}}{2\times 2}$$

112 ile 9 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-3±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

121 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-3±11}{2\times 2}$$

2 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-3±11}{4}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-3±11}{4} denklemini çözün. 11 ile -3 sayısını toplayın.

$$x=\frac{8}{4}$$

8 sayısını 4 ile bölün.

$$x=2$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-3±11}{4} denklemini çözün. 11 sayısını -3 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{14}{4}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-14}{4} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{7}{2}$$

Denklem çözüldü.

$$x=2 x=-\frac{7}{2}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$2x^{2}+3x-14=0$$

Denklemin her iki tarafına 14 ekleyin.

$$2x^{2}+3x-14-\left(-14\right)=-\left(-14\right)$$

-14 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$2x^{2}+3x=-\left(-14\right)$$

-14 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$2x^{2}+3x=14$$

Her iki tarafı 2 ile bölün.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{14}{2}$$

2 ile bölme, 2 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{14}{2}$$

14 sayısını 2 ile bölün.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=7$$

x teriminin katsayısı olan \frac{3}{2} sayısını 2 değerine bölerek \frac{3}{4} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{3}{4} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=7+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

\frac{3}{4} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=7+\frac{9}{16}$$

\frac{9}{16} ile 7 sayısını toplayın.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{121}{16}$$

Faktör x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{11}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{11}{4}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{3}{4} çıkarın.

$$x=2 x=-\frac{7}{2}$$