2v^2+5v=7 Denklemini Çözme

$$2 { v }^{ 2 } +5v = 7$$

v için çözün

$$v = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$v=1$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki taraftan 7 sayısını çıkarın.

$$2v^{2}+5v-7=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 2v^{2}+av+bv-7 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=5 ab=2\left(-7\right)=-14$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -14 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,14 -2,7$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+14=13 -2+7=5$$

Çözüm, 5 toplamını veren çifttir.

$$a=-2 b=7$$

2v^{2}+5v-7 ifadesini \left(2v^{2}-2v\right)+\left(7v-7\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(2v^{2}-2v\right)+\left(7v-7\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 7 2v çarpanlarına ayırın.

$$2v\left(v-1\right)+7\left(v-1\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak v-1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(v-1\right)\left(2v+7\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için v-1=0 ve 2v+7=0 çözün.

$$v=1 v=-\frac{7}{2}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$2v^{2}+5v=7$$

Denklemin her iki tarafından 7 çıkarın.

$$2v^{2}+5v-7=7-7$$

7 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$2v^{2}+5v-7=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 2, b yerine 5 ve c yerine -7 değerini koyarak çözün.

$$v=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

5 sayısının karesi.

$$v=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

-4 ile 2 sayısını çarpın.

$$v=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

-8 ile -7 sayısını çarpın.

$$v=\frac{-5±\sqrt{25+56}}{2\times 2}$$

56 ile 25 sayısını toplayın.

$$v=\frac{-5±\sqrt{81}}{2\times 2}$$

81 sayısının karekökünü alın.

$$v=\frac{-5±9}{2\times 2}$$

2 ile 2 sayısını çarpın.

$$v=\frac{-5±9}{4}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak v=\frac{-5±9}{4} denklemini çözün. 9 ile -5 sayısını toplayın.

$$v=\frac{4}{4}$$

4 sayısını 4 ile bölün.

$$v=1$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak v=\frac{-5±9}{4} denklemini çözün. 9 sayısını -5 sayısından çıkarın.

$$v=-\frac{14}{4}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-14}{4} kesrini sadeleştirin.

$$v=-\frac{7}{2}$$

Denklem çözüldü.

$$v=1 v=-\frac{7}{2}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$2v^{2}+5v=7$$

Her iki tarafı 2 ile bölün.

$$\frac{2v^{2}+5v}{2}=\frac{7}{2}$$

2 ile bölme, 2 ile çarpma işlemini geri alır.

$$v^{2}+\frac{5}{2}v=\frac{7}{2}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{5}{2} sayısını 2 değerine bölerek \frac{5}{4} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{5}{4} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$v^{2}+\frac{5}{2}v+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{7}{2}+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

\frac{5}{4} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$v^{2}+\frac{5}{2}v+\frac{25}{16}=\frac{7}{2}+\frac{25}{16}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{7}{2} ile \frac{25}{16} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$v^{2}+\frac{5}{2}v+\frac{25}{16}=\frac{81}{16}$$

Faktör v^{2}+\frac{5}{2}v+\frac{25}{16}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(v+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(v+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Sadeleştirin.

$$v+\frac{5}{4}=\frac{9}{4} v+\frac{5}{4}=-\frac{9}{4}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{5}{4} çıkarın.

$$v=1 v=-\frac{7}{2}$$