18x^2-120x-42 Denklemini Çözme

$$18 x ^ { 2 } - 120 x - 42$$

Çarpanlara Ayır

$$6\left(x-7\right)\left(3x+1\right)$$

Çözüm Adımları

6 ortak çarpan parantezine alın.

$$6\left(3x^{2}-20x-7\right)$$

3x^{2}-20x-7 ifadesini dikkate alın. İfadeyi gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle ifadenin 3x^{2}+ax+bx-7 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-20 ab=3\left(-7\right)=-21$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -21 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-21 3,-7$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-21=-20 3-7=-4$$

Çözüm, -20 toplamını veren çifttir.

$$a=-21 b=1$$

3x^{2}-20x-7 ifadesini \left(3x^{2}-21x\right)+\left(x-7\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(3x^{2}-21x\right)+\left(x-7\right)$$

3x^{2}-21x ifadesini 3x ortak çarpan parantezine alın.

$$3x\left(x-7\right)+x-7$$

Dağılma özelliği kullanarak x-7 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-7\right)\left(3x+1\right)$$

Çarpanlarına ayrılan tüm ifadeyi yeniden yazın.

$$6\left(x-7\right)\left(3x+1\right)$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

İkinci dereceden polinomsal ifadeler ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) dönüşümü kullanılarak çarpanlarına ayrılabilir. Burada x_{1} ve x_{2} ikinci dereceden ax^{2}+bx+c=0 denkleminin çözümleridir.

$$18x^{2}-120x-42=0$$

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$x=\frac{-\left(-120\right)±\sqrt{\left(-120\right)^{2}-4\times 18\left(-42\right)}}{2\times 18}$$

-120 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-120\right)±\sqrt{14400-4\times 18\left(-42\right)}}{2\times 18}$$

-4 ile 18 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-120\right)±\sqrt{14400-72\left(-42\right)}}{2\times 18}$$

-72 ile -42 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-120\right)±\sqrt{14400+3024}}{2\times 18}$$

3024 ile 14400 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-120\right)±\sqrt{17424}}{2\times 18}$$

17424 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-120\right)±132}{2\times 18}$$

-120 sayısının tersi: 120.

$$x=\frac{120±132}{2\times 18}$$

2 ile 18 sayısını çarpın.

$$x=\frac{120±132}{36}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{120±132}{36} denklemini çözün. 132 ile 120 sayısını toplayın.

$$x=\frac{252}{36}$$

252 sayısını 36 ile bölün.

$$x=7$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{120±132}{36} denklemini çözün. 132 sayısını 120 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{12}{36}$$

12 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-12}{36} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Özgün ifadeyi ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) kullanarak çarpanlarına ayırın. 7 yerine x_{1}, -\frac{1}{3} yerine ise x_{2} koyun.

$$18x^{2}-120x-42=18\left(x-7\right)\left(x-\left(-\frac{1}{3}\right)\right)$$

p-\left(-q\right) biçimindeki tüm ifadeleri p+q biçiminde olacak şekilde sadeleştirin.

$$18x^{2}-120x-42=18\left(x-7\right)\left(x+\frac{1}{3}\right)$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{1}{3} ile x sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$18x^{2}-120x-42=18\left(x-7\right)\times \frac{3x+1}{3}$$

18 ve 3 sayılarını, bu sayıların en büyük ortak çarpanı olan 3 ile sadeleştirin.

$$18x^{2}-120x-42=6\left(x-7\right)\left(3x+1\right)$$

Hesapla

$$6\left(x-7\right)\left(3x+1\right)$$