18x^2-9x-5=0 Denklemini Çözme

$$18 { x }^{ 2 } -9x-5 = 0$$

x için çözün

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=\frac{5}{6}\approx 0,833333333$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 18x^{2}+ax+bx-5 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-9 ab=18\left(-5\right)=-90$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -90 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

Çözüm, -9 toplamını veren çifttir.

$$a=-15 b=6$$

18x^{2}-9x-5 ifadesini \left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right)$$

18x^{2}-15x ifadesini 3x ortak çarpan parantezine alın.

$$3x\left(6x-5\right)+6x-5$$

Dağılma özelliği kullanarak 6x-5 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(6x-5\right)\left(3x+1\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 6x-5=0 ve 3x+1=0 çözün.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 18, b yerine -9 ve c yerine -5 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

-9 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

-4 ile 18 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-72\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

-72 ile -5 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+360}}{2\times 18}$$

360 ile 81 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{441}}{2\times 18}$$

441 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±21}{2\times 18}$$

-9 sayısının tersi: 9.

$$x=\frac{9±21}{2\times 18}$$

2 ile 18 sayısını çarpın.

$$x=\frac{9±21}{36}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{9±21}{36} denklemini çözün. 21 ile 9 sayısını toplayın.

$$x=\frac{30}{36}$$

6 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{30}{36} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{5}{6}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{9±21}{36} denklemini çözün. 21 sayısını 9 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{12}{36}$$

12 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-12}{36} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

Denklemin her iki tarafına 5 ekleyin.

$$18x^{2}-9x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

-5 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$18x^{2}-9x=-\left(-5\right)$$

-5 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$18x^{2}-9x=5$$

Her iki tarafı 18 ile bölün.

$$\frac{18x^{2}-9x}{18}=\frac{5}{18}$$

18 ile bölme, 18 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{18}\right)x=\frac{5}{18}$$

9 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-9}{18} kesrini sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{5}{18}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{1}{2} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{1}{4} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{1}{4} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{18}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

-\frac{1}{4} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{5}{18}+\frac{1}{16}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{5}{18} ile \frac{1}{16} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{49}{144}$$

Faktör x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{7}{12} x-\frac{1}{4}=-\frac{7}{12}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{1}{4} ekleyin.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$