16x^2+74x+9=0 Denklemini Çözme

$$16 x ^ { 2 } + 74 x + 9 = 0$$

x için çözün

$$x = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4,5$$

$$x=-\frac{1}{8}=-0,125$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 16x^{2}+ax+bx+9 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=74 ab=16\times 9=144$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b pozitif olduğundan a ve b her ikisi de pozitif. Çarpımı 144 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,144 2,72 3,48 4,36 6,24 8,18 9,16 12,12$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1+144=145 2+72=74 3+48=51 4+36=40 6+24=30 8+18=26 9+16=25 12+12=24$$

Çözüm, 74 toplamını veren çifttir.

$$a=2 b=72$$

16x^{2}+74x+9 ifadesini \left(16x^{2}+2x\right)+\left(72x+9\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(16x^{2}+2x\right)+\left(72x+9\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 9 2x çarpanlarına ayırın.

$$2x\left(8x+1\right)+9\left(8x+1\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 8x+1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(8x+1\right)\left(2x+9\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 8x+1=0 ve 2x+9=0 çözün.

$$x=-\frac{1}{8} x=-\frac{9}{2}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$16x^{2}+74x+9=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 16, b yerine 74 ve c yerine 9 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-74±\sqrt{74^{2}-4\times 16\times 9}}{2\times 16}$$

74 sayısının karesi.

$$x=\frac{-74±\sqrt{5476-4\times 16\times 9}}{2\times 16}$$

-4 ile 16 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-74±\sqrt{5476-64\times 9}}{2\times 16}$$

-64 ile 9 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-74±\sqrt{5476-576}}{2\times 16}$$

-576 ile 5476 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-74±\sqrt{4900}}{2\times 16}$$

4900 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-74±70}{2\times 16}$$

2 ile 16 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-74±70}{32}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-74±70}{32} denklemini çözün. 70 ile -74 sayısını toplayın.

$$x=-\frac{4}{32}$$

4 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-4}{32} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{1}{8}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-74±70}{32} denklemini çözün. 70 sayısını -74 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{144}{32}$$

16 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-144}{32} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{9}{2}$$

Denklem çözüldü.

$$x=-\frac{1}{8} x=-\frac{9}{2}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$16x^{2}+74x+9=0$$

Denklemin her iki tarafından 9 çıkarın.

$$16x^{2}+74x+9-9=-9$$

9 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$16x^{2}+74x=-9$$

Her iki tarafı 16 ile bölün.

$$\frac{16x^{2}+74x}{16}=-\frac{9}{16}$$

16 ile bölme, 16 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{74}{16}x=-\frac{9}{16}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{74}{16} kesrini sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{37}{8}x=-\frac{9}{16}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{37}{8} sayısını 2 değerine bölerek \frac{37}{16} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{37}{16} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{37}{8}x+\left(\frac{37}{16}\right)^{2}=-\frac{9}{16}+\left(\frac{37}{16}\right)^{2}$$

\frac{37}{16} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{37}{8}x+\frac{1369}{256}=-\frac{9}{16}+\frac{1369}{256}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{9}{16} ile \frac{1369}{256} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{37}{8}x+\frac{1369}{256}=\frac{1225}{256}$$

Faktör x^{2}+\frac{37}{8}x+\frac{1369}{256}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{37}{16}\right)^{2}=\frac{1225}{256}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{37}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1225}{256}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{37}{16}=\frac{35}{16} x+\frac{37}{16}=-\frac{35}{16}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{37}{16} çıkarın.

$$x=-\frac{1}{8} x=-\frac{9}{2}$$