16x^2+10x-9=0 Denklemini Çözme

$$16 x ^ { 2 } + 10 x - 9 = 0$$

x için çözün

$$x = -\frac{9}{8} = -1\frac{1}{8} = -1,125$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 16x^{2}+ax+bx-9 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=10 ab=16\left(-9\right)=-144$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -144 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

Çözüm, 10 toplamını veren çifttir.

$$a=-8 b=18$$

16x^{2}+10x-9 ifadesini \left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 9 8x çarpanlarına ayırın.

$$8x\left(2x-1\right)+9\left(2x-1\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 2x-1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(2x-1\right)\left(8x+9\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 2x-1=0 ve 8x+9=0 çözün.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$16x^{2}+10x-9=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 16, b yerine 10 ve c yerine -9 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

10 sayısının karesi.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

-4 ile 16 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-64\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

-64 ile -9 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+576}}{2\times 16}$$

576 ile 100 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-10±\sqrt{676}}{2\times 16}$$

676 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-10±26}{2\times 16}$$

2 ile 16 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-10±26}{32}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-10±26}{32} denklemini çözün. 26 ile -10 sayısını toplayın.

$$x=\frac{16}{32}$$

16 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{16}{32} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{1}{2}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-10±26}{32} denklemini çözün. 26 sayısını -10 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{36}{32}$$

4 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-36}{32} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{9}{8}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$16x^{2}+10x-9=0$$

Denklemin her iki tarafına 9 ekleyin.

$$16x^{2}+10x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

-9 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$16x^{2}+10x=-\left(-9\right)$$

-9 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$16x^{2}+10x=9$$

Her iki tarafı 16 ile bölün.

$$\frac{16x^{2}+10x}{16}=\frac{9}{16}$$

16 ile bölme, 16 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{10}{16}x=\frac{9}{16}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{10}{16} kesrini sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x=\frac{9}{16}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{5}{8} sayısını 2 değerine bölerek \frac{5}{16} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{5}{16} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{9}{16}+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}$$

\frac{5}{16} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{9}{16}+\frac{25}{256}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{9}{16} ile \frac{25}{256} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{169}{256}$$

Faktör x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{169}{256}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{256}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{5}{16}=\frac{13}{16} x+\frac{5}{16}=-\frac{13}{16}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{5}{16} çıkarın.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$