15+26x+8x^2=0 Denklemini Çözme

$$15+26x+8 { x }^{ 2 } =0$$

x için çözün

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Standart biçime dönüştürmek için polinomu yeniden düzenleyin. Terimleri üslerine göre azalan düzende sıralayın.

$$8x^{2}+26x+15=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 8x^{2}+ax+bx+15 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=26 ab=8\times 15=120$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b pozitif olduğundan a ve b her ikisi de pozitif. Çarpımı 120 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,120 2,60 3,40 4,30 5,24 6,20 8,15 10,12$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1+120=121 2+60=62 3+40=43 4+30=34 5+24=29 6+20=26 8+15=23 10+12=22$$

Çözüm, 26 toplamını veren çifttir.

$$a=6 b=20$$

8x^{2}+26x+15 ifadesini \left(8x^{2}+6x\right)+\left(20x+15\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(8x^{2}+6x\right)+\left(20x+15\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 5 2x çarpanlarına ayırın.

$$2x\left(4x+3\right)+5\left(4x+3\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 4x+3 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(4x+3\right)\left(2x+5\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 4x+3=0 ve 2x+5=0 çözün.

$$x=-\frac{3}{4} x=-\frac{5}{2}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$8x^{2}+26x+15=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 8, b yerine 26 ve c yerine 15 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-26±\sqrt{26^{2}-4\times 8\times 15}}{2\times 8}$$

26 sayısının karesi.

$$x=\frac{-26±\sqrt{676-4\times 8\times 15}}{2\times 8}$$

-4 ile 8 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-26±\sqrt{676-32\times 15}}{2\times 8}$$

-32 ile 15 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-26±\sqrt{676-480}}{2\times 8}$$

-480 ile 676 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-26±\sqrt{196}}{2\times 8}$$

196 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-26±14}{2\times 8}$$

2 ile 8 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-26±14}{16}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-26±14}{16} denklemini çözün. 14 ile -26 sayısını toplayın.

$$x=-\frac{12}{16}$$

4 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-12}{16} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-26±14}{16} denklemini çözün. 14 sayısını -26 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{40}{16}$$

8 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-40}{16} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Denklem çözüldü.

$$x=-\frac{3}{4} x=-\frac{5}{2}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$8x^{2}+26x+15=0$$

Denklemin her iki tarafından 15 çıkarın.

$$8x^{2}+26x+15-15=-15$$

15 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$8x^{2}+26x=-15$$

Her iki tarafı 8 ile bölün.

$$\frac{8x^{2}+26x}{8}=-\frac{15}{8}$$

8 ile bölme, 8 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{26}{8}x=-\frac{15}{8}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{26}{8} kesrini sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{13}{4}x=-\frac{15}{8}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{13}{4} sayısını 2 değerine bölerek \frac{13}{8} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{13}{8} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{13}{4}x+\left(\frac{13}{8}\right)^{2}=-\frac{15}{8}+\left(\frac{13}{8}\right)^{2}$$

\frac{13}{8} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{13}{4}x+\frac{169}{64}=-\frac{15}{8}+\frac{169}{64}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{15}{8} ile \frac{169}{64} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{13}{4}x+\frac{169}{64}=\frac{49}{64}$$

Faktör x^{2}+\frac{13}{4}x+\frac{169}{64}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{13}{8}\right)^{2}=\frac{49}{64}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{64}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{13}{8}=\frac{7}{8} x+\frac{13}{8}=-\frac{7}{8}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{13}{8} çıkarın.

$$x=-\frac{3}{4} x=-\frac{5}{2}$$